Quotient et reste d'un grand nombre

[Alexandre]

Bonsoir,

J'ai un exercice à rendre la semaine prochaine, et à vrai dire je n'arrive pas à résoudre l'exercice.

Comme vous pouvez le voir en pièce-jointe j'ai repéré la forme a = bq +r mais je ne voie pas comment continuer ...

Par avance, merci de votre aide

[SoS-Math(30)]

Bonsoir,

Effectivement tu as reconnu la forme a = b × q + r. Mais pour que cela vérifie la définition de la division euclidienne tu dois aussi avoir la condition 0 =< r < b.

SoSMath

[Alexandre]

Oui on a bien 0 <= r < b,
car 0 <= 333 333 333 < 555 555 555.

Mais comment continuer ?!

[SoS-Math(25)]

Bonjour Alexandre,


Tu as donc le reste de la division Euclidienne par 555 555 555.

Maintenant, que se passe-t-il dans la division Euclidienne par 222 222 222 ?

A bientôt

[Alexandre]

Bonjour,

Donc le reste et le quotient de la division par N par 555 555 555 est r =333 333 333 et q = 222 222 222.

Pour la deuxième question :
0 <= r < b
0 <= r < 222 222 222

Mais je ne voie pas comment continuer ?

Par avance, merci de votre aide.
Au revoir

[SoS-Math(25)]

Pour la deuxième, tu obtiens un reste de 333 333 333 et en effet, ce n'est pas le reste de la division euclidienne par 222 222 222 car 333 333 333 >= 222 222 222.

Il faut donc recommencer une division euclidienne de 333 333 333 par 222 222 222.

Tu y es presque.

A bientôt

[Thomas]

Donc si je reprends ,

0 <= r < b
0 <= 333 333 333 < 222 222 222 ( IMPOSSIBLE !!)

Donc calculons la division euclidienne de 333 333 333 par 222 222 222.

0 <= r < 222 222 222
0 <= 111 111 111 < 222 222 222
Donc le reste et le quotient de la division par N par 222 222 222 est r =111 111 111 et q = 555 555 555 .

[SoS-Math(25)]

Presque,

Le reste est bien 111 111 111 mais le quotient n'est pas 555 555 555 (c'est un peu plus...)

A bientôt

[Thomas]

Désolé mais je ne voie pas trouver comment trouver le quotient à moins de faire 555 555 555 + 222 222 222 = 777 777 777 ?!

[SoS-Math(25)]

Tu sais que :


\(N=555 555 555\times 222 222 222 + 333333333\)

et aussi que :


\(333333333=1\times 222 222 222 + 111 111 111\)

En remplaçant 333 333 333 dans la première égalité, tu devrais pouvoir trouver le quotient en factorisant.

A bientôt

[Thomas]

J'ai essayé de factoriser par rapport à vos remarques, mais je ne pense pas avoir réussi. Voici mon début de raisonnement :

N= 555 555 555 × 222 222 222 + 333 333 333

et 333 333 333 = 1× 222 222 222 +111 111 111

Donc N = 555 555 555 × 222 222 222 + 1× 222 222 222 +111 111 111
= 222 222 222 ( 555 555 555 + 222 222 222) + 111 111 111

[SoS-Math(25)]

Presque,

Donc N = 555 555 555 × 222 222 222 + 1× 222 222 222 +111 111 111
= 222 222 222 ( 555 555 555 + 222 222 222) + 111 111 111

N = 555 555 555 × 222 222 222 + 1× 222 222 222 +111 111 111

Attention en factorisant !

[Thomas]

Cela donerait N = 222 222 222 ( 555 555 555 +1) + 111 111 111 11

Donc q = 555 555 556 et r = 111 111 111

[SoS-Math(25)]

C'est cela.

A bientôt

[Thomas]

Pour la troisième question, je vous remet l'exercice en pièce jointe, je pensais faire :

0<= r < b
0 <= 333 333 333 < 555 ( IMPOSSIBLE)

Division euclidienne de 333 333 333 par 555
0 <= r < 555

Mais là je ne voie pas comment trouver r ...