Maths Terminale S

[Noé]

Bonjour,

Je suis en Terminale S et j'ai un DM à rendre pour mardi.
J'ai réussi toutes les questions sauf la 4. Je suis bloquée à l'hérédité.

Voici le sujet :
Soit la fonction f définie sur R* par f(x)=x/2 + 1/x.
1. a. Montrez que f'(x)=((x-racine de 2)(x+racine de 2))/2x².
b. En déduire le sens de variation de f sur [racine de 2;+l'infini].

2. On considère la suite (un) définie sur N par uo =3/2et un+1 = f(un).
a. Calculez u1 et u2.
b. Utilisez le sens de variation de pour démontrer par récurrence que racine de 2<= un+1 < un <= 3/2.
c. En déduire le sens de variation de la suite un.

3. Sans récurrence, montrez que pour tout n appartenant à N, un+1 - racine de 2 <= 1/2 (un-racine de 2)
Indication : Calculer et simplifier l'expression un+1 - racine de 2 - 1/2 (un-racine de 2) et étudier son signe.

4. En déduire, par récurrence, que pour tout n appartenant à N, 0<un-racine de 2<=(1/2)puissance n FOIS (u0-racine de 2).[/b]

Merci d'avance pour votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu utilises la question précédente pour montrer l'hérédité :
si tu supposes que pour un certain rang \(n\), on a \(0<u_n-\sqrt{2}\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (u_0-\sqrt{2})\)
Alors si tu pars de l'inégalité de la question précédente \(0<u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\times \underbrace{(u_n-\sqrt{2})}_{\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (u_0-\sqrt{2})}\) donc on a finalement :
\(0<u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (u_0-\sqrt{2})\) donc
\(0<u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\times (u_0-\sqrt{2})\) et on a bien montré l'hérédité.
As-tu suivi ?

[Noé]

Merci beaucoup pour ta réponse.
Pourrais-tu simplement me préciser pourquoi l'on peut affirmer que : un-racine de 2 <= (1/2) puissance n X (u0 - racine de 2) ?

[Noé]

As-tu reçu ma réponse ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te rappelle que sur ce forum, tu t'adresses à des professeurs en exercice qui ont l'habitude d'être vouvoyés....
L'affirmation que je fais est le principe même de l'hérédité : on suppose que la propriété est vraie à un certain rang \(n\) et on montre dans ce cas qu'elle est vraie au rang \(n+1\). Ce que l'on démontre c'est la validité de la transmission \(n\to n+1\) : si c'est vrai au rang \(n\), alors c'est vrai au rang \(n+1\).
Est-ce plus clair ?

[Noé]

Excusez-moi.
Je sais cela mais je ne vois pas ce qui nous permet d'affirmer que : un-racine de 2 <= (1/2) puissance n X (u0 - racine de 2) ?

[Noé]

Excusez-moi.
Je sais cela mais je ne vois pas ce qui nous permet d'affirmer que : un-racine de 2 <= (1/2) puissance n X (u0 - racine de 2) ?

[sos-math(21)]

Noé,
je crois que tu n'as pas saisi ce que signifie une démonstration par récurrence :
On veut démontrer la propriété \(\mathcal{P}_n : 0<u_n-\sqrt{2}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (u_0-\sqrt{2})\)
Initialisation : on démontre que \(\mathcal{P}_0\) est vraie : ici on teste que l'inégalité est vraie quand on prend n=0 : comme \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1\), on a bien : \(0<u_n-\sqrt{2}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0\times (u_0-\sqrt{2})\)
Hérédité : on suppose que \(P_n\) est vraie pour un certain rang \(n\) :
si tu supposes que pour un certain rang \(n\), on a \(0<u_n-\sqrt{2}\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (u_0-\sqrt{2})\)
Alors si tu pars de l'inégalité de la question précédente \(0<u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\times \underbrace{(u_n-\sqrt{2})}_{\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (u_0-\sqrt{2})}\) donc on a finalement :
\(0<u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times (u_0-\sqrt{2})\) donc
\(0<u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\times (u_0-\sqrt{2})\) et on a bien montré l'hérédité.
On conclut d'après le principe de récurrence que \(P_n\) est vraie pour tout entier \(n\).
Je ne peux pas dire autrement.

[Noé]

D'accord, merci, j'ai compris.
Bonne soirée.

[sos-math(21)]

Ouf !
Je commençais à être à court d'arguments, du moins par voie écrite.
Bonne continuation