Les suites

[Camille]

Bonjour alors j'ai un exercice à faire mais je suis coincée...

Voici l'énoncé:
Soit (Un) une suite géométrique de raison q et de premier terme U0
Soit (Vn) la suite définie pour tout n par Vn = Un + Un+1
Soit (Wn) la suite définie pour tout n par Wn = Un+1 - Un

1) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique. Déterminer son premier terme et sa raison.
2) Même question avec (Wn)

Et voici ce que j'ai réalisé:
1) Vn+1 / Vn = (Un+1 + Un+1) / (Un + Un+1) = Un+1 / Un
J'ai donc trouver ce résultat mais je pense pas que ça me dis si la suite est géométrique...

V0 = U0 + U0+1 = 2U0+1

2) Wn+1 / Wn = (Un+1 - Un+1 ) / (Un+1 - Un) = - Un+1 / Un
W0 = U0+1 - U0 = 1

Merci de bien vouloir m'aider

[SoS-Math(25)]

Bonjour Camille,

Attention, pour simplifier des fractions il faut des multiplications ou des divisions...

Aussi, \(V_{n+1}=U_{n+1}+U_{n+2}\)

\(\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=\dfrac{U_{n+1}+U_{n+2}}{U_{n}+U_{n+1}}\) mais tu ne peux pas simplifier par \(U_{n+1}\)

Le plus simple serait de partir de la définition explicite de \(U_n\) :

\(U_n=U_{0}q^n\)

Ainsi, \(V_n=U_{0}q^n+U_{0}q^{n+1}\)

En factorisant, tu devrais pourvoir écrire \(V_n\) sous la forme \(V_n=V_{0}q^n\)

Bon courage

[Camille]

J'ai donc mis U0 en facteur ce qui me donne
Vn = U0 ( q^n + q^n+1)
Mais ensuite je ne vois pas comment on pourrait poursuivre vu qu'on ne peut pas additionner les puissances puisqu'il s'agit qu'une addition et non d'une multiplication

[SoS-Math(25)]

Effectivement, on ne peut pas additionner les puissances mais on peut factoriser par \(q^n\).

Tu y es presque

[Camille]

Ah oui du coup ça fait
Vn= q^n (U0 + U0+1)
Vn= V0q^n

[SoS-Math(25)]

Attention,

\((q^n + q^{n+1})=q^n( ... + ...)\)

[Camille]

Je ne comprends pas, dans les parenthèses on ne met pas de U0 ?

[SoS-Math(25)]

Tu peux le faire avec U0

\((U_0q^n + U_0q^{n+1})=U_0q^n( ... + ...)\)

[Camille]

U0q^n ( 1 + U0q^1)

[SoS-Math(25)]

Presque, développe ton résultat pour voir ta petite erreur

[Camille]

Je ne vois pas d'erreur puisque j'ai:
U0q^n ( 1 + U0q^1)
U0q^n × 1 + U0q^n × U0q^1
U0q^n + U0q^n+1

[SoS-Math(25)]

Je ne vois pas d'erreur puisque j'ai:
U0q^n ( 1 + U0q^1)
U0q^n × 1 + U0q^n × U0q^1
U0q^n + U0^2q^n+1

Donc cela donne :

\(U_0q^n(1+q)\)

a bientôt

[Camillle]

Et du coup c'est une suite géométrique de raison q et de premier terme U0 ?

[SoS-Math(25)]

La raison est bien q mais le premier terme n'est pas U0.

il faut bien ecrire de cette forme : \(q^n\times .....\) où ... Correspond au premier terme. \([tex]\)

A bientôt

[Camillle]

q^n × V0 d'où le premier terme est Vn ?