Equations de trigonométrie

[Sophie]

Bonjour,
Pourriez vous m'éclairer sur cette exercice ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Sophie,
pour la question 1) tu commences par utiliser : cos(2x)=2cos²(x)-1 et ensuite avec l'indication de l'énoncé tu vas pouvoir établir l'équation du second degré.

[Sophie]

Mais que faut-il faire ensuite ? Et où est passé cos x ?

[SoS-Math(33)]

Tu as cos(x)=cos(2x)
d'où cos(x) = 2cos²(x)-1
d'où avec le changement de variable X=2X²-1
Tu résous cette équation et ensuite tu vas dire que la où les solutions trouvées sont les valeurs de cos(x) et ainsi tu obtiendras x.

[Sophie]

D'accord mais on résout comment cette équation ?

[SoS-Math(33)]

Tu as X=2X²-1 soit 2X²-X-1=0 tu calcules le \(\Delta\) etc...

[Sophie]

D'accord, donc j'ai trouvé -2 et 1/2 et donc ce sont les seules solutions de [0;2π] ?

[SoS-Math(33)]

Tu as fait une erreur les solutions sont X1=-1/2 et X2=1
ce qui te donne : cos(x1)=-1/2 soit x1= .... et cos(x2)=1 soit x2=....

[Sophie]

Il faut faire cos(-1/2) et cos(1) et non pas arcos ?

[SoS-Math(33)]

Tu cherches les valeur de x telles que cos(x) = -1/2 donc tu utilises arcos ou le cercle trigonométrique.

[Sophie]

Donc j'ai trouvé pour x1=120 et x2=0 dans [0;2pi[

[SoS-Math(33)]

Tu es dans l'intervalle \([0;2\pi[\)donc tu dois donner les solutions en radian.
Pour cos(x)=-1/2 il y en a deux : \(\frac{2\pi}{3}\) et \(\frac{4\pi}{3}\)
Pour cos(x)=1 il y en a une seule : 0

[Sophie]

Ah d'accord merci beaucoup !!
Est ce que c'est la même chose pour les sinus ?

[SoS-Math(33)]

Pour le sinus tu dois utiliser sin(2x)=2sin(x)cos(x)
d'où sin(x)=2sin(x)cos(x) tu mets tout du même côté et tu mets sin(x) en facteur pour obtenir une équation produit nul.
Je te laisse faire les calculs.

[Sophie]

Sin x en facteur ? Je ne comprends pas