Ligne de niveau - Statistiques

[Camille]

Bonjour,

J'ai un devoir et je suis totalement bloquée:

A-/ Démontrer les formules de la médiane:
Dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH:
AB.AC = AI^2 - 1/4 BC^2 ( J'ai démontré celle la)
valeur absolu ( AB^2-AC^2) = 2BC * IH

B-/ A et B sont deux points du plan tels que AB=6 cm

1) Soit f la fonction qui à tout point M du plan associe le nombre f(M)= MA^2 + MB^2
On note Fk la ligne de niveau k pour la fonction f, c'est-à-dire l'ensemble des points du plan tels que f(M)=k.
(a) Montrer que f(M) est supérieur ou égal à 18. Que peut-on en déduire pour Fk lorsque k inférieur à 18

On sait que f(M)= MA^2 + MB^2
d'après le théorème des médianes
f(M)= 1/2 AB^2 + 2 MI^2 ou I est le milieu de AB
Mais je n'arrive pas a placer les points A et B sur un axe et à faire le lien entre le plan et le segement AB

(b) Déterminer F18 et la représenter

MA^2+MB^2= k
k= 1/2 AB^2 + 2MI^2
K= 1/2 * 36 + 2 MI^2
k = 18 + 2 MI^2

Je n'arrive pas a aller plus loins...

(c) Montrer F20 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Je pense que je dois montrer que MA^2 + MB^2 = (x − a)2 + (y − b)2 - r2
mais je n'y arrive pas...

(d) Déterminer et représenter F40
(e) Indiquer la nature des lignes de niveau k associées à f selon les valeurs de k.
(f) Indiquer les caractéristiques précises de ces lignes de niveaux

Je n'ai aucune idées comment faire les 3 dernières questions...

Merci beaucoup pour votre aide

Camille

[SoS-Math(30)]

Bonsoir Camille,

Pour la démonstration de la troisième formule de la médiane, utilises une identité remarquable pour le produit scalaire : \(AB^{2}-AC^{2}=\left ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right ).\left ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \right )\). Je te laisse voir pour ensuite simplifier.
Pour la partie B, comme tu l'as montré dans la question b, f(M) = 18 + 2MI² ce qui justifie f(M) supérieur ou égal à 18.
Pourquoi veux-tu placer A et B sur un axe ?
Pour la question b, F18 est l'ensemble des points M du plan qui vérifient f(M) = 18 autrement dit avec ton calcul : 18 + 2MI² = 18 ce qui donne 2MI² = 0...
Quel(s) point(s) vérifie(nt) cela ?
Pour la question c, F20 est l'ensemble des points M du plan qui vérifient f(M) = 20 autrement dit avec ton calcul : 18 + 2MI² = 20 ce qui donne 2MI² = 2, soit MI² = 1 autrement dit MI = 1
Quels points M sont à la distance de 1 du point I ?

Je te laisse reprendre ces questions et peut-être poursuivre avec ces indications ?...

SoSMath

[Camille]

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos indications qui m'ont beaucoup aidé,

Je dois Représenter F18, F 20 et F40 mais je suis obliger de placer A et B pour cela non?
Je voulais également vous demander ce que sont les caractéristiques d'une ligne de niveau?

Merci

Camille

[SoS-Math(9)]

Bonjour Camille,

Pour tracer tes lignes de niveaux, tu as besoin du triangle ABC, donc des points A et B.
Ta 2ème question est un peu plus dure .... en mathématiques c'est un ensemble de point M qui vérifie la condition f(M)= k (où est f est une fonction définie et k une constante).
Un exemple d'utilisation dans la vie courante est une carte topographique. C'est une carte d'un lieu (ville, région ,...) où l'on a ajouté des lignes qui correspondent aux points ayant la même altitude.

SoSMath.