Matrices TES spé

[Claire]

Une population de rongeurs femelles ayant un cycle de reproduction de 3 ans a les caractéristiques suivantes :
Chaque femelle donne en moyenne naissance à 6 femelles durant sa deuxième année et à 10 femelles durant sa troisième année.
Seul un rongeur sur deux survit au-delà de sa première année et seuls 40% de ceux qui survivent la deuxième année survivront jusqu'à la troisième année.
On désigne respectivement par an, bn et cn les effectifs des femelles juvéniles, des femelles préadultes (de 1 an), et des femelles adultes (de 2 ans), n étant un entier naturel qui indique le nombre d'années écoulées depuis l'instant initial (pour n=0).
On suppose que la population initiale comporte 100 femelles juvéniles.
On considère les matrices : http://image.noelshack.com/fichiers/201 ... trices.png

1. Justifier que Pn+1=A*Pn

J'ai calculer A*Pn et j'ai trouver :
(6bn+10cn )
(0.5an )
(0.4bn )
En aucun cas Pn+1, je ne comprend pas la démarche à faire...

[sos-math(21)]

Bonsoir,
\(P_{n+1}\) est le vecteur colonne défini comme \(\left(\begin{array}{c}a_{n+1}\\b_{n+1}\\c_{n+1}\end{array}\right)\)
Donc dire que \(P_{n+1}=AP_n\), revient à savoir si les suites \((a_n)\), \((b_n)\) et \((c_n)\) vérifient les relations de récurrence suivantes (je me base sur ton calcul de \(AP_n\)) :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}a_{n+1}&=&6b_n+10c_n\\b_{n+1}&=&0,5a_n (\mbox{tu as fait une erreur dans ton calcul)}\\c_{n+1}&=&0,4b_n\end{array}\right.\)
Pour justifier cela, il s'agit de retrouver dans l'énoncé les informations permettant d'obtenir les relations de récurrence données :
par exemple :

un rongeur sur deux survit au-delà de sa première année

signifie que si on a \(a_n\) rongeurs juvéniles à l'année n, alors il ne restera \(0,5a_n\), rongeurs ayant un an l'année (n+1) donc le nombre de rongeurs\(b_{n+1}\) d'un an à l'année (n+1) vérifie bien \(b_{n+1}=0,5a_n\) (ligne deux de ton système)
A toi de poursuivre la traduction en t'inspirant de ce que j'ai initié.
Bon courage

[Claire]

Je ne vois pas où est l'erreur dans mon calcul !

Voici ce que j'ai compris de chaque ligne :
Cn+1=0.4Bn signifie que seule 40 % des femmes pré-adultes seront des femelles adultes
Bn+1=0.5An signifie que que 50% des femelles juvéniles deviendront des femelles pré-adultes
An+1=6Bn+10Cn signifie qu'une femelle donne en moyenne naissance à 6 femelles la première année et a 10 autres la deuxième

En revanche, je ne comprend pas pas comment on peut dire que Pn+1=APn...

[sos-math(21)]

Non, tu n'as pas fait d'erreur, c'est moi qui ai mal lu !
Pour ce qui est de \(P_{n+1}=AP_n\), c'est la traduction matricielle de ce que tu as écrit sous forme des trois équations donc il n'y a rien à dire de particulier :
tu pars de ces trois équations que tu établis à partir des informations donnée dans l'énoncé, et tu fais la remarque que cela correspond à la traduction en équation linéaire de l'équation matricielle \(P_{n+1}=AP_n\).
La justification porte à mon avis davantage sur ce que tu as dit dans ton dernier message, c'est-à-dire pourquoi on a \(a_{n+1}=6b_n+10c_n\), ...
Le plus dur est de traduire le problème en relations de récurrence, sous forme matricielle ou non.
Maintenant que c'est fait, cela devrait aller.
Bon courage

[Claire]

D'accord, j'ai compris le principe

Ensuite :
2. Calculer P1, P2, P3

J'ai trouvé :
P1 =
(0)
(50)
(0)

P2=
(300)
(0)
(20)

P3=
(200)
(150)
(0)

En utilisant la relation de réccurence

[sos-math(21)]

Bonjour,
effectivement, ici, il faut utiliser le premier vecteur \(P_0\) et tu obtiens \(P_1\) et \(P_2\) à l'aide de la relation de récurrence.
Pour les calculs, je te fais confiance.
Bon courage pour la suite.

[Claire]

3.Exprimer Pn en fonction de A et de P0

J'ai pensé à ça :

Pn=A*P0, mais cela reviendrait à une matrice colonne de taille 3 avec seulement des zéros, donc inutile

Et en utilisant le terme général (Un = U0*q^n) je pensais qu'il fallait que je fasse quelque chose qui ressemble à ça :

Pn=
(An= 100*.....)
(Bn=0*0.5^n)

Mais ca n'aurait aucun sens car les deux dernières ligne égaleraient zéro quelque soit le n..






4. Décrire la composition de la population pour :
a. n=5
b. n=10
c. n=20

Ici, une fois que j'aurai Pn en fonction de A et des Po, donc le "terme général", je n'aurai aucun problème pour répondre à cette question.

[sos-math(21)]

Ton idée est bonne :
comme tu as \(P_{n+1}=AP_n\), cela ressemble à une suite géométrique sauf que ce sont des matrices.
Mais le principe reste le même, on peut montrer que \(P_n=A^nP_0\) où \(A^n=\underbrace{A\times A\times...\times A}_{n\,\mbox{facteurs}}\)
où le \(\times\) est le produit matriciel.
Les puissances successives de matrices s'obtiennent assez facilement avec une calculatrice.
Utilise cela pour répondre à ta dernière question.
Bon courage

[Claire]

Merci bien, j'ai compris comment faire !

[sos-math(21)]

Bon courage pour les calculs.
A bientôt sur sos-math

[Jul bb]

Je n'arrive pas à trouver la relation de récurrence pour la question 2

[SoS-Math(30)]

Bonjour Jules,

Reformule ta question avec la politesse requise lors de l'utilisation de ce forum et ce sera mieux !
Pour répondre à ta question, relis la question 1, la réponse y est.

SoSMath

[Juliiii]

Enfaite merci je viens de comprendre. Le seul problème c'est que maintenant je ne comprend comment faire Pn en fonction de A et de P0

[SoS-Math(31)]

Bonjour Julii,
Tu as trouvé P\(_{n+1}=A P_{n}\) donc
P\(_{1}= AP_{0}\)
P\(_{2}= AP_{1}\)= A AP\(_{0} = A²P_{0}\)
P\(_{3}= AP_{2}\)=A A² P\(_{0}= A^{3} P_{0}\)
On peut généraliser
P\(_{n}= A^{n} P_{0}\)

[Juliii]

Merci beaucoup