dérivée seconde

[patricia]

Bonsoir
j'ai un autre exercice pour lequel je bloque totalement
Étude d’une fonction à l’aide de sa dérivée seconde
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) =x4−2x3+ 2x2−2x+ 5.
On note f′ la fonction dérivée de f et f′′ la dérivée de f′.
1 calculer f" (x) et étudier son signe.
2. En déduire les variations de f′.
3. Calculer f′(1) et en déduire le signe de f′(x).
4. Étudier enfin les variations de f

1) f'(x)= 4x3 - 6x2 +4x -2
f”(x) = 12 x2 -12x +4

Δ= b2 - 4ac
= -122 - 4*12*4
= 144 – 192
= -46
Δ négatif on ne peut pas factoriser donc pas de variation
je dois faire une erreur dans la dérivée mais je ne la voit pas
merci de votre aide

[SoS-Math(33)]

Bonsoir patricia,
si ton \(\Delta\) est négatif cela veut dire que ta fonction \(f''(x)\) ne s'annule pas donc elle est toujours du même signe celui de a (ici 12) donc \(f''(x)>0\)
Du coup tu as les variations de \(f'(x)\)
Je te laisse poursuivre ton exercice.

[SoS-Math(32)]

Bonsoir Patricia,
Tes calculs sont justes. Attention à bien noter les carrés.
Le discriminant étant négatif, f''(x) est différent de 0 quelle que soit la valeur de x.
Donc f''(x) est toujours positif ou négatif; à toi de vérifier avec f''(0).
Tu en déduiras les variations de f'.
Bon courage.
Sos-math.

[patricia]

Bonsoir
1) si j'ai bien compris il suffit de calculer le delta il est négatif donc la fonction f" est du signe de a donc f" est positive
2) f'(o) = -2 faut il factoriser x( 4x2 -6x +4) -2 si on calcule le delta de 4 x carré -6x +4 il est négatif = -28 peut on en déduire que f' est croissante???
3) f ' (1)= 4-6+4-2=0 donc f' est négative de ] -oo, 0 [ et positive de ]0; +oo[
4) je ne sais pas. Avec la calculatrice f(x) est décroissante de +oo à 4 puis croissante de 4 à +oo un minimum f(1) = 4 mais comment le démontrer???
merci de votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta fonction \(f''\) est de signe constant d'après le calcul du discriminant.
Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, ce trinôme est du signe de \(a\) donc \(f''(x)>0\) pour tout réel \(x\).
On en déduit que la fonction \(f'\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Comme on a \(f(1)=0\), on en déduit le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\)
Là tu as fait une erreur : la fonction change de signe en \(x=1\) donc elle est négative sur \(]-\infty\,;\,1]\) et positive sur \([1\,;\,+\infty[\).
Ce qui explique que ta fonction est décroissante sur \(]-\infty\,;\,1]\) et décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\).
\(f(1)=4\) est donc bien un minimum de la fonction sur \(\mathbb{R}\).
Bonne conclusion

[patricia]

Bonsoir,
en conclusion la fonction f(x) est décroissante sur ]-oo; 4] puis croissante sur [4; +oo[
merci

[SoS-Math(33)]

Bonsoir,
non ce n'est pas bon pour ton intervalle.
Ta fonction est décroissante sur ]−∞;1] et croissante sur [1;+∞[ et 4 est le minimum de ta fonction sur R.

[patricia]

Bonsoir
merci beaucoup pour votre aide
Bonne soirée

[SoS-Math(31)]

A bientôt sur le forum.