Equation : Aires de disques

[Kalyla]

Bonjour/Bonsoir
Je rencontre un devoir maison qui me pose problème. Dans la consigne
on me donne une figure composée de trois disques. Le diamètre [AB] du grand disque mesure 10 cm.
Le point M est un point du segment [AB]. On note x en cm le longueur de MB.
On se pose la question suivante : où doit-on placer le point M sur [AB] pour que l'aire du disque de diamètre
[AM] soit trois fois celle du disque [MB] ?

J'ai commencé par calculer l'aire du grand disque.
D = 2*r
10 = 2*r
r = 5
A = pi*5^2
A = 25pi
Ensuite j'ai calculer le diamètre, le rayon et l'aire de [MB] et [AM].
Pour [MB] : Pour [AM] :
D = 10-x = 2 8 = 2*r A = pi*4^2 D = 2*r 6 = 2*r A = pi*3^2
-x = -10+2 r = 4 A = 16pi 10-4 = 2*r r = 3 A = 9pi
-x = -8
x = 8
Mais je ne trouve pas très logique le résultat de [AM] en sachant que l'aire de [AM] est trois fois celle de [MB].

[SoS-Math(33)]

Bonjour kalyla,
je pense que tu as fait une erreur dans le calcul des rayons
Si \(x\) = MB le rayon du cercle est \(x\)/2
Ensuite MA = 10 - \(x\) donc le rayon est (10-\(x\))/2
Je te laisse calculer les deux aires et mettre en équation le problème.

[Kalyla]

Merci de m'avoir corrigé.
Pour l'air de [MB] c'est égal à pi (x/2)^2
Et l'aire de [MA] c'est bien A = 3,14 (10-x)/2
J'ai développé et j'obtiens A = 31,4-3,14x/2
Et là je ne sais pas si je divise par 2 l'ensemble.

[SoS-Math(33)]

Pour l'aire de [MA] tu as oublié le carré.
Reprend ton calcul et garde \(\pi\) dans les deux aires pour la simplification.

[Kalyla]

Avec le carré j'obtiens x^2-20x+314/2
Dois-je diviser le tout ?

[SoS-Math(33)]

Je pense qu'il y a une erreur d’inattention.
Reprend le calcul et garde \(\pi\) et non 3,14 pour la simplification plus tard.

[Kalyla]

Ah donc en fait c'est pi*(10-x)^2/2 = pix^2-20x/2 ?

[SoS-Math(33)]

Il y a encore une petite erreur d'inattention

\(\pi (\frac{10-x}{2})^2\)

[Kalyla]

Ah, d'accord je viens de comprendre !
pi(10-x/2)^2 = pi25-x

[SoS-Math(33)]

Toujours pas ,
(a-b)² = a² -2ab+b²
et c'est \(\pi (\frac{10-x}{2})^2\) et non \(\pi (10-\frac{x}{2})^2\)

[Kalyla]

Donc c'est pi (x^2-20x+100/2)
pi ( x-10x+50)
pi ( -9x+50)

[SoS-Math(33)]

On reprend,
tu as une première forme \((\frac{A}{B})^2\) qui donne \(\frac{A^2}{B^2}\)
et ensuite (a-b)² qui donne a² -2ab +b²
donc \(\pi (\frac{10-x}{2})^2\) = \(\pi( \frac{10^2-2\times 10 \times x + x^2}{4})\) = \(\pi( \frac{100-20x + x^2}{4})\)
Je te laisse poursuivre avec l'autre aire.

[Kalyla]

pi(100-20x+x^2/4) * 3
pi(300-60x+3x^2/12)
pi(25-5x+0,25^2)

[SoS-Math(33)]

Kalyla, il faudrait que tu utilises mieux les parenthèses pour bien mettre en évidence numérateur et dénominateur.
Il te faudrait faire ainsi : pi((100-20x+x^2)/4) * 3
Quand tu multiplies une fraction par un nombre c'est uniquement le numérateur que tu dois multiplier
Reprend le calcul tu es bientôt au bout de l'exercice courage

[Kalyla]

pi((100-20x+x^2-4))*3
pi(25-5x+x^2)*3
pi(75-15x+3x^2)