Bonjour,
J essaie de comprendre le cours sur le théorème des valeurs intermediaire et de la bijection..
Jai pris pour exemple une fonction \(f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+1\)
la fonction f est continue et strictement monotone sur\(]-\infty ; a]\) et croissante sur \([a ; \infty[\). je sais qu'elle ne s annule jamais et en plus elle ne change jamais de signe, c est un carrée
Comment appliquer le TVI pour ce cas ?
Pour la bijectivité je sais que à chaque \(y\) on a un seul et unique antécédent ,Comment l'ecrire?
pouvez vous m'aider?merci
continuité
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nat
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SoS-Math(31)
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Re: continuité
Bonjour Nat,
Le TVI permet de savoir si une équation admet au moins une solution et si cette solution est unique.
Il te faut donc une équation. Prenons dans ton exemple f(x) = 2
Effectivement f est continue.
Sur [ -2; 0], f est décroissante (donc monotone);
f(-2) = 5 et f(0) = 1 donc 2 est compris entre f(-2) et f(0).
Alors f(x) = 2 admet une unique solution sur [- 2 ; 0 ].
Remarque comme f est décroissante, le minimum de f sur ] - infini; - 2[ est 5 donc f(x) = 2 n'a pas de solution.
On peut faire de même sur [0;2] et [2; + infini[
Le TVI permet de savoir si une équation admet au moins une solution et si cette solution est unique.
Il te faut donc une équation. Prenons dans ton exemple f(x) = 2
Effectivement f est continue.
Sur [ -2; 0], f est décroissante (donc monotone);
f(-2) = 5 et f(0) = 1 donc 2 est compris entre f(-2) et f(0).
Alors f(x) = 2 admet une unique solution sur [- 2 ; 0 ].
Remarque comme f est décroissante, le minimum de f sur ] - infini; - 2[ est 5 donc f(x) = 2 n'a pas de solution.
On peut faire de même sur [0;2] et [2; + infini[
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nat
Re: continuité
merci pour la réponse rapide.
vous faites une restriction sur un intervalle de R en faites"Alors f(x) = 2 admet une unique solution sur [- 2 ; 0 ]"
Dans\(R\) tous entier sa ne fonctionnerais pas c est bien sa on aurait deux solutions? Ce qui nous amène à une contradiction par rapport au théorème?
Une dernière petite question qui me perturbe le changement de signe de\(f\) n'implique pas forcément \(TVI\)
MERCI
vous faites une restriction sur un intervalle de R en faites"Alors f(x) = 2 admet une unique solution sur [- 2 ; 0 ]"
Dans\(R\) tous entier sa ne fonctionnerais pas c est bien sa on aurait deux solutions? Ce qui nous amène à une contradiction par rapport au théorème?
Une dernière petite question qui me perturbe le changement de signe de\(f\) n'implique pas forcément \(TVI\)
MERCI
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SoS-Math(31)
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Re: continuité
Si l'on veut l'unicité de la solution, il faut restreindre l'étude à un intervalle où f est monotone.
Ainsi dans l'exemple précédent, on doit couper R en deux intervalles ceux qui donnera effectivement deux solutions sur R (une dans chaque intervalle).
On regarde où f change de signes uniquement si l'on étudie l'équation f(x) = 0.
Si f(x) = x² + 1, nous n'avons pas besoin du TVI pour savoir si l'équation f(x) = 0 admet une solution car x² > ou =0 donc x² + 1 > 1 donc f(x) = 0 n'a pas de solution.
Ainsi dans l'exemple précédent, on doit couper R en deux intervalles ceux qui donnera effectivement deux solutions sur R (une dans chaque intervalle).
On regarde où f change de signes uniquement si l'on étudie l'équation f(x) = 0.
Si f(x) = x² + 1, nous n'avons pas besoin du TVI pour savoir si l'équation f(x) = 0 admet une solution car x² > ou =0 donc x² + 1 > 1 donc f(x) = 0 n'a pas de solution.
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nat
Re: continuité
merci, math31
voici la dernière question de l'exo .
de 1 a 5 pas de soucis.
etude de fonction:\(f\left( x \right) =ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right)\)
Question 6 : pour tous \(x> 0\) demontrer que\(f(x)=0\) admet une solution unique \(k\)
pour tous \(x\ge k\) déduire que\(f\) réalise une bijection
\(k=x\)
\(f\left( k \right) =0\)\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt { {k }^{ 2 }-1 }\)\(={ e }^{ 0 }\) d'ou \(k=\pm \sqrt { 2 }\)
par l' hypothése \(x> 0\) alors \(k= \sqrt { 2 }\) qui est bien unique!
ainsi pour\(x> 0\) : on a , \(\forall x\in{\displaystyle \mathbb {R*+} }\), \(\exists! k\in{\displaystyle \mathbb {R} }\) tels que \(x\ge\sqrt { 2 }\)
\(x\ge\sqrt { 2 }>1>0\) alors \([\sqrt { 2 }, \infty [\) dans\(]1, \infty [\)
or sur\(]1, \infty [\)
- est un intervalle restreint de \(Df\), déterminer dans Q1.\(f\) est continue donc définie
-la monotonie a mis en évidence la croissance de \(f\)
-on a montrer que l intervalle recherché selon l hypothése de l'enoncé faisait partie de\(Df\) restreint.
On peut alors affirmer que la fonction réalise une bijection de \([\sqrt { 2 }, \infty [\) vers\({\displaystyle \mathbb {R+} }\)!
svp est ce comme ceci qu il fallait repondre
voici la dernière question de l'exo .
de 1 a 5 pas de soucis.
etude de fonction:\(f\left( x \right) =ln\left( \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right)\)
Question 6 : pour tous \(x> 0\) demontrer que\(f(x)=0\) admet une solution unique \(k\)
pour tous \(x\ge k\) déduire que\(f\) réalise une bijection
\(k=x\)
\(f\left( k \right) =0\)\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt { {k }^{ 2 }-1 }\)\(={ e }^{ 0 }\) d'ou \(k=\pm \sqrt { 2 }\)
par l' hypothése \(x> 0\) alors \(k= \sqrt { 2 }\) qui est bien unique!
ainsi pour\(x> 0\) : on a , \(\forall x\in{\displaystyle \mathbb {R*+} }\), \(\exists! k\in{\displaystyle \mathbb {R} }\) tels que \(x\ge\sqrt { 2 }\)
\(x\ge\sqrt { 2 }>1>0\) alors \([\sqrt { 2 }, \infty [\) dans\(]1, \infty [\)
or sur\(]1, \infty [\)
- est un intervalle restreint de \(Df\), déterminer dans Q1.\(f\) est continue donc définie
-la monotonie a mis en évidence la croissance de \(f\)
-on a montrer que l intervalle recherché selon l hypothése de l'enoncé faisait partie de\(Df\) restreint.
On peut alors affirmer que la fonction réalise une bijection de \([\sqrt { 2 }, \infty [\) vers\({\displaystyle \mathbb {R+} }\)!
svp est ce comme ceci qu il fallait repondre
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sos-math(21)
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Re: continuité
Bonjour,
Pour la solution de ton équation, tu peux aussi t'appuyer sur le théorème des valeurs intermédiaires ;
ta fonction est définie et continue sur \(]1\,;\,+\infty[\)
elle est strictement croissante sur cet intervalle et \(\lim_{x\to 0^+}=-\infty\) et \(\lim_{x\to +\infty}=+\infty\) (limites à prouver ?) donc 0 est bien compris dans l'intervalle image.
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans cet intervalle.
A fortiori, la résolution algébrique de l'équation \(f(x)=0\) permet elle aussi de justifier l'existence et l'unicité de la solution.
Pour la suite, c'est correct, c'est bien le théorème de bijection monotone qu'il faut utiliser (bien soigner la rédaction)
Bonne continuation
Pour la solution de ton équation, tu peux aussi t'appuyer sur le théorème des valeurs intermédiaires ;
ta fonction est définie et continue sur \(]1\,;\,+\infty[\)
elle est strictement croissante sur cet intervalle et \(\lim_{x\to 0^+}=-\infty\) et \(\lim_{x\to +\infty}=+\infty\) (limites à prouver ?) donc 0 est bien compris dans l'intervalle image.
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans cet intervalle.
A fortiori, la résolution algébrique de l'équation \(f(x)=0\) permet elle aussi de justifier l'existence et l'unicité de la solution.
Pour la suite, c'est correct, c'est bien le théorème de bijection monotone qu'il faut utiliser (bien soigner la rédaction)
Bonne continuation
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nat
Re: continuité
merci maths 21.
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sos-math(21)
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Re: continuité
Bonne continuation
À bientôt sur sos-math
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