Complexes

[Tom]

" Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, u , v ). On prendra pour le dessin ∥ −→u ∥ = 4 c m .
M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M′ le point d’affixe z′ telle que :
z′ =−1 z
où z désigne le conjugué du nombre complexe z. Partie A. Quelques propriétés
→− −→
1) Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z′, puis une relation entre les arguments de z et z′.
2) Démontrer que les points O, M et M′ sont alignés.
3) Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul, on a l’égalité :
z′ + 1 = 1(z − 1). z
Partie B. Construction de l’image d’un point
On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1. On note C l’ensemble des points M du plan dont l’affixe vérifie :
|z − 1| = 1.
1) Quelle est la nature de l’ensemble C ?
2) Soit M un point de C d’affixe z, distinct du point O.
a) Démontrer que |z′ + 1| = |z′|. Interpréter géométriquement cette égalité.
b) déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M' à partir du point M
3) on désigne par C le cercle de diamètre [AB]. On suppose dans cette question que le point M appartient à C. Démontrer que M' appartient à C et construire M'.




Bonjour
J'ai besoin d'aide
Pour la question 3 de la partie B
Comment démontrer que si M appartient à C, M' aussi ? merci

[SoS-Math(33)]

Bonjour Tom,
je ne comprends pas au début la relation qui est donnée entre z et z' : z′ =−1 z?
Pour la question 3 le cercle de diamètre [AB] est le cercle qui a pour centre le milieu de [AB] et pour rayon AB/2.
Si M appartient au cercle il vérifie |OM| = AB/2 si O est le centre du cercle et ensuite il faut utiliser la relation entre z et z' mais je peux pas dire plus d’après ma première phrase.

[Tom]

Pardon, z' = -1/z

[SoS-Math(33)]

Pour la question qui te pose problème il te faut écrire l'appartenance du point M au cercle avec son affixe z ce qui va t'aider et ensuite tu calcules |z'| pour arriver à une égalité qui correspond à l'appartenance au cercle de diamètre [AB].
Cela t'aide t-il?

[Tom]

Je cherche depuis tout à l'heure mais je vois pas.
J'étais parti pour faire |OM|=AB/2
|zM-zO|=(|zB-zA|)/2
|zM|= -1

Mais ça me paraît faux et je vois pas quoi faire après

[SoS-Math(25)]

Bonjour Tom,

A et B sont d'affixes respectives 1 et -1. Donc, quel est le centre du cercle de diamètre [AB] et quel est son rayon ?

Ensuite, que doit vérifier un point du plan pour être sur ce cercle ? (Il faut regarder le module).

Bon courage !

[Tom]

Alors
Justement le centre est O et donc son rayon est [AB]/2.

Pour que un point du plan soit sur le cercle il faut que son module, qui est la distance soit égal au rayon
Donc par exemple pour le point M il faut que module de Z soit = [AB]/ 2
C'est bien ça?

Mais c'est ce qu'il me semble avoir fait, j'ai calculé le module de AB/2

[Tom]

Puis je faire :

Le point M(z) appartient au cercle de centre 0(z0) et de rayon (AB)/2
Donc pour tout téta qui appartient à R, z=z0+ ((AB)/2)e^iteta


Donc M'(z')appartient à C ssi z'=z0 + ((AB)/2)e^iteta

OM' = (AB)/2
|zm'-zo|= (AB)/2
Zm' -zo a donc pour module (AB)/2
Donc zm'-zo = (AB)/2 e ^iteta
Donc zm'= zo + (AB)/2 e^iteta

?

[SoS-Math(33)]

Tu connais A et B ils sont donnés dans l'énoncé donc tu connais AB/2.
Écris simplement |z| = AB/2
Ensuite tu calcules |z'| avec z' = -1/z et tu dois obtenir le résultat.