comparer f(x') et f(x) en étudiant le signe de leur diffère

[yann]

Bonsoir SOS math

je vous remercie pour le temps que vous avez passé pour m'expliquer cette démonstration

aussi , j'espère ne pas abuser de votre temps

j'ai joint une représentation graphique

dans cette démonstration , on compare les images de f(x)

il y a 2 images f(x) et f(x')

donc les deux paraboles f(x) et f(x') sont superposées l'une sur l'autre ??

c'est come ci , je premais un calque et que je venais superposer f(x') sur f(x) , est ce cela ??

[sos-math(21)]

Bonjour,
il n'y a pas deux courbes superposées, on se place sur une seule courbe en deux points différents :

J'espère que tu vois la finalité de l'exercice...
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Bonjour,
il n'y a pas deux courbes superposées, on se place sur une seule courbe en deux points différents :

J'espère que tu vois la finalité de l'exercice...
Bonne continuation

[yann]

merci SOS math

un nouvelle fois merci!!

bon week end

[SoS-Math(31)]

A bientôt.

[yann]

Bonsoir ,

tout d'abord , je voudrais vous présenter mes MEILLEURS VOEUX pour cette année 2017
je voudrais revenir sur le message du jeudi 8 décembre posté à 21: 54 par sos math(7)
début du message
Lors de cette démonstration on pose x'>x ce qui équivaut à x'-x>0 On a donc que le signe de cette différence dépend du signe de \(a\) et de \(x'+x+\frac{b}{a}\).
Pour le signe de \(x'+x+\frac{b}{a}\) on a donc deux cas :
Si x et x' sont dans l'intervalle \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) on a alors \(x<\frac{−b}{2a}\) et \(x'<\frac{−b}{2a}\) donc \(x+x'<\frac{−b}{2a}+\frac{−b}{2a}\) soit \(x+x'<\frac{−2b}{2a}\) soit \(x+x'<\frac{−b}{a}\) c'est à dire \(x+x'+\frac{b}{2a}<0\).
Sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) , \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \((-a)\).
Sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\), \(x>\frac{−b}{2a}\) et \(x'>\frac{−b}{2a}\) donc \(x+x'>\frac{−b}{2a}+\frac{−b}{2a}\) soit \(x+x'>\frac{−b}{a}\) c'est à dire \(x+x'+\frac{b}{a}>0\)
Finalement, sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\) \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \(a\).

Pour \(a>0\), \(f\) est décroissante sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) (\(f(x')-f(x)<0\) (signe de \((-a)\) ) c'est à dire \(f(x')<f(x)\) avec \(x'>x\) c'est la définition même d'une fonction décroissante sur l'intervalle)
et \(f\) croissante sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\) (\(f(x')-f(x)>0\) (signe de \(a\)) c'est à dire \(f(x')>f(x)\) avec \(x'>x\)).

Pour \(a<0\), \(f\) est croissante sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) (\(f(x')-f(x)>0\) (signe de \((-a)\) ) c'est à dire \(f(x')>f(x)\) avec \(x'>x\) c'est la définition même d'une fonction croissante sur l'intervalle) et \(f\) décroissante sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\) (\(f(x')-f(x)<0\) (signe de \(a\) ) c'est à dire \(f(x')<f(x)\) avec \(x'>x\)).
Fin du message

On doit étudier le signe de \(f(x') - f(x)( x' - x) a (x' + x + \frac{b}{a}\)
pour étudier le signe du produit \((x' - x) a (x' + x) + \frac{b}{a}\) on doit faire un tableau de signes avec le signe de (x' - x) et le signe de a (x' + x) + b

pour démontrer qu'une fonction est décroissante sur un intervalle ; il faut montrer que si x ' et x sont deux nombres dans cet intervalle
rangés tel que x ' > x alors f(x) > f(x') , ceci est la définition de la fonction décroissante
donc si je prends deux nombres x' et x tel que x' > x
l'objectif est de montrer que f(x) < f(x') soit f(x) - f(x') < 0

si x' > x alors x' - x est toujours positif
et \(x + x' + \frac{b}{a} < 0\)

donc d'après la règle des signes , j'ai x' - x qui est positif et \(x + x' + \frac{b}{a}\) qui est négatif
plus et moins ,cela fait moins d'après la règle des signes donc le signe de f(x') - f(x) est bien négatif , donc x' > x et f(x) < f(x') et on a bien la définition de la fonction décroissante
ce que je ne comprends pas , c'est quand SOS(7) dit : Sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) , \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \((-a)\).
pourquoi dites vous que f(x') - f(x) est du signe de (-a) alors que la parabole est tournée vers le haut et donc atteint son point le plus bas (=minimum) en \(-\frac{b}{2a}\)

J'espère ne pas abuser car vous m'avez bien aidé pour cette démonstration , mais là ,il y a encore ce point qui me tracasse !!
pouvez vous m'expliquez ? s'il vous plait

[sos-math(21)]

Bonjour,
sur l'intervalle considéré, tu as établi \(x'-x>0\) et \(x+x'+\frac{b}{a}<0\) ; sachant que la différence \(f(x')-f(x)=a\underbrace{(x'-x)\left(x+x'+\frac{b}{a}\right)}_{<0}\).
Le signe de \(f(x')-f(x)\) dépend bien du signe de \(a\) et il est bien de signe opposé à celui de \(a\) puis qu'il est égal au produit de \(a\) par un nombre négatif.
Ainsi le signe de cette différence a le même signe que \(-a\) et on peut ensuite engager une discussion en fonction du signe de \(a\).
si \(a<0\) alors \(f(x')-f(x)>0\) et la fonction est croissante : logique pour une parabole orientée vers le bas car \(a<0\), (on est "à gauche" du sommet) ;
si \(a<0\) alors \(f(x')-f(x)<0\) et la fonction est décroissante : logique pour une parabole orientée vers le haut car \(a>0\), (on est "à gauche" du sommet) ;
Est-ce plus clair ?

[yann]

Pour montrer qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle J, il faut montrer que si x et x' sont deux nombres de l'intervalle J rangés tels que x < x', alors f(x) > f(x').

voici comment je raisonne :

comme l'objectif est de prouver que la fonction est décroissante dans l'intervalle \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\)
j'utilise la définition de la fonction décroissante , je prends deux nombres x et x' dans l'intervalle \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) rangés tel que \(x < x' <\frac{−b}{2a}\)

mon objectif est de démontrer que f(x) > f(x')
si je veux f(x) > f(x') alors il faut que f(x) - f(x') soit négatif

jusque là , je ne me trompe pas ??

[yann]

j'ai peut être oublié de vous dire Bonjour
et de vous remercier pour votre réponse

mais à chaque fois , je suis préoccupé par le message que je vais posté

bonne après - midi

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela (dans le cas où \(a>0\) tout de même, car sinon la fonction est croissante à gauche du sommet).
Cela fait plusieurs messages que nous répétons plus ou moins la même chose et je ne comprends pas ce qui vous pose problème.
Mes réponses et celles de mes collègues contiennent tous les éléments nécessaires. Que faut-il d'autre ?
Merci de préciser afin que nous arrêtions de tourner en rond.

[yann]

Bonsoir SOS (21)

je sais que vous m'avez beaucoup aidé et je vous en remercie
Croyez bien que je ne cherche pas à vous déranger (bien au contraire

dans l'intervalle \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{-b}{2a}\right]\)

par hypothèse x < x' donc x' - x est toujours positif

puis \(x' + x + \frac{b}{a} < 0\)
\(f(x')-f(x)=\underbrace{a}_{>0}\underbrace{(x'-x)}_{>0}\underbrace{\left(x+x'+\frac{b}{a}\right)}_{<0}\)

d'après la règle des signes + et - font - donc le signe de f(x') - f(x) est négatif
f(x') - f(x) est le produit de deux nombres positifs et d'un nombre négatif (qui sont (x' - x) et (a(x' + x ) + b)).

donc f(x') - f(x) est un nombre négatif alors f(x) > f(x')

dans l'intervalle \(\left[\dfrac{-b}{2a}\,;\,+\infty\right[\)

(x' - x) est toujours positif
\(0 < \frac{b}{a} + x' + x\)

\(f(x')-f(x)=\underbrace{a}_{>0}\underbrace{(x'-x)}_{>0}\underbrace{\left(x+x'+\frac{b}{a}\right)}_{>0}\)

f(x') - f(x) est le produit de Trois nombres positifs
donc le signe de f(x') - f(x) > 0 soit f(x' ) > f(x)

ce que je ne comprends pas ,c'est cette phrase :

Sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) , \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \((-a)\)

la parabole est tournée vers le haut donc elle ne peut pas avoir le signe -a , elle atteint son point le plus bas (= minimum ) en \(\frac{b}{2a}\)

c'est tout ce que j'arrive à comprendre !!!

[SoS-Math(25)]

Bonjour Yann,

ce que je ne comprends pas ,c'est cette phrase :

Sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) , \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \((-a)\)

la parabole est tournée vers le haut donc elle ne peut pas avoir le signe -a , elle atteint son point le plus bas (= minimum ) en \(\frac{b}{2a}\)

c'est tout ce que j'arrive à comprendre !!!

\(a\) est positif dans ta démonstration donc la parabole a la "tête" en bas. Il s'agit donc ici minimum.

Sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) , \(f(x')-f(x)<0\) et comme \(a\) est positif, \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \(-a\).

J'espère avoir pu t'aider.

A bientôt

[yann]

Bonsoir ,

il n'y a rien à faire , je n'arrive pas à comprendre : f(x')- f(x) est donc du signe de (-a)

en revanche ça je comprends :
\(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) , \(f(x')-f(x)<0\) donc, \(f(x') < f(x)\) et comme x' > x , on prouve que la fonction est décroissante , ce qui est normal puisque la parabole a effectivement la tete en bas

-->j'arrive à refaire la démonstration , c'est l'essentiel , après tout tant pis si je ne comprends pas la dernière phrase

merci beaucoup à SOS math (en espérant ne pas trop vous avoir déranger)

[sos-math(21)]

Bonjour,
le fait de dire que c'est du signe de \(-a\) est juste une forme courte pour résumer la situation, cela ne permet pas une meilleure compréhension.
Si tu as compris que le sens de variation d'une fonction dépendait de l'ordre de \(f(x)\) et \(f(x')\) par rapport à celui de \(x\) et de \(x'\), alors c'est l'essentiel.
Ensuite, la détermination de cet ordre est liée à la factorisation de l'expression définissant \(f(x)-f(x')\).
Bonne continuation