Problème ouvert : géométrie, fonctions, trigonométrie...

[Anaëlle]

Re-bonjour tout le monde, vous allez bien ?
Alors ma prof de maths m'a donné un délai pour ce même DM facultatif.
Le problème se nomme: égalité d'aire.
On considère la figure ci-dessous, sur laquelle le centre du secteur circulaire est le sommet du triangle isocèle vert.
Pour quelle(s) valeur(s) l'angle d'ouverture du secteur circulaire les aires des parties rose et verte sont-elles égales ?

Je me suis arrêtée avec les aires des deux parties:
- triangle: h*x

- secteur circulaire: ((2π*r²)/360°)*(2*θ°)

J'ai ensuite relier θ avec x et r par le sinus:
sinθ= x/r

Puis de même avec le cosinus, r et h:
cosθ= h/r

J'ai vraiment envie de le rendre car je sens que j'y suis presque donc est-ce qu'il serait possible que vous m'aidiez de nouveau ?
Merci beaucoup

[SoS-Math(33)]

Bonjour Anaëlle,
c'est très bien de persévérer,
attention \(hx\) est l'aire de la partie verte et non celle du triangle rectangle.
l'aire du secteur circulaire est \(\frac{πr^2}{360}\times2θ\)
\(x= rsinθ\)
\(h=rcosθ\)

l'aire rose = l'aire du secteur circulaire - l'aire verte
tu dois écrire maintenant une équation qui traduit l'égalité désirée.

[Anaëlle]

Bonsoir, désolée de voir votre message que maintenant,
Alors avec tout ce que vous m'avez dit, j'ai fait:
Aire rose= πr2360×2θ-(h*x)=πr2360×2θ-((r*cosθ)*(r*sinθ))

Mais le problème c'est que je n'ai pas compris cette égalité que vous m'avez donné, j'ai remplacé avec ce que j'avais mais pourriez-vous m'expliquer ?
Et puis je ne vois pas quoi faire après...désolée
Merci beaucoup

[SoS-Math(32)]

Bonsoir Anaëlle,
Reprends tes formules en utilisant bien les égalités d'aires.
Partie rose = Secteur circulaire - partie verte = partie verte.
Donc secteur ciculaire = \(2\times{partie verte}\),
avec secteur circulaire = \({{\pi}\times{r²}\over360}\times2\theta\)
et partie verte = \(xh\).
Remplace par ces expressions.
Ensuite, tu pourras remplacer \(x\) et \(h\) par les formules en fonction de \(cos\theta\) et \(sin\theta\).
Bon courage.
Sos-math.

[Anaëlle]

Bonjour,
Alors avec ce que vous m'avez dit j'ai abouti à:
\(\frac{π*r²}{360}*2θ\)=2*[(sinθ*r)*(cosθ*r)]

Est-ce que maintenant je dois essayer de supprimer des éléments par équivalence de chaque côté ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne comprends pas cette histoire de secteur circulaire.
Comment est défini ton problème ?
Sur ton dessin, ce n'est pas un secteur circulaire : c'est un triangle auquel on rajoute un demi-disque.
ton triangle vert a pour aire : \(x\times h\)
Il reste à exprimer \(x\) et \(h\) en fonction de \(r\) et \(\theta\)
Précise cela car j'ai l'impression que nous sommes partis dans deux directions différentes

[SoS-Math(33)]

Bonjour Anaelle,
je reprend le fil de la discussion. Tu peux simplifier effectivement par \(r\), et ensuite tu as aussi une formule de trigonométrie 2sinθcosθ que tu peux transformer pour simplifier.

[Anaëlle]

Pour vous répondre sos-math (21) au départ moi aussi je pensais que la partie rose était un demi-cercle sauf que je m'étais trompé, c'est bien une partie du secteur circulaire qui lui est la figure entière. Dans le problème il est dit que le centre du secteur circulaire est le sommet du triangle isocèle vert et par déduction que la partie rose n'est qu'une partie de ce secteur.

Pour faire suite à vos explications sos-math(33), j'ai du mal à visualiser les simplifications à faire:
Est-ce que je dois distribuer ce qu'il y entre crochets: 2*[(sin θ*r)*(cos θ*r)] ?
Et comment faire pour simplifier 2sinθcosθ ?

[SoS-Math(33)]

Il faut mettre \(r\) en facteur et tu obtiens \(r^2\) des deux côtés d'où une première simplification ( je te donne les étapes)
\(\frac{πr^2}{360}\times2θ=2rsinθ\times rcosθ\)
\(\frac{πr^2}{360}\times2θ=2r^2sinθ\times cosθ\)
\(\frac{π}{360}\times2θ=2sinθ\times cosθ\)

Ensuite tu dois connaitre la formule ci-dessous que tu peux utiliser pour simplifier à nouveau l'expression.
\(sin2θ = 2sinθ\times cosθ\)
A toi de poursuivre

[Anaëlle]

Bonsoir, le délai accordé par ma prof arrive à terme je dois rendre le DM demain et grâce à vous je l'ai bientôt terminé (enfin je crois)
A la suite de votre aide, je sui parvenue à l'égalité suivante:
\([tex]\)\frac{\(\pi\)}{360}[/tex]\(\times\)2θ=2sinθ\(\times\)cosθ

Me reste-t-il encore des simplifications à faire ou puis-je désormais essayer différentes valeurs ? A l'aide de la calculatrice ?

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Anaëlle,
tu peux remplacer \(2sinθ\times cosθ\) par \(sin2θ\)
ainsi tu obtiens : \(\frac{π}{360}\times2θ= sin2θ\)
Tu peux essayer différentes valeur avec la calculatrice, ou avec un graphique, ou avec une étude de fonction.

[Anaëlle]

Oui mince, j'ai recopié ma mauvaise ligne de calcul j'avais déjà remplacé 2sinθxcosθ par sin2θ comme vous me l'aviez déjà indiqué.
Et par rapport à la calculatrice, je peux rentrer l'égalité telle qu'elle où il y a des termes que je dois remplacer ?

[SoS-Math(33)]

Attention Annaëlle,
sur la calculatrice il te faut rentrer une fonction si tu veux utiliser le graphique, ne pas oublier que l'égalité obtenue est pour un secteur angulaire exprimé en degré et non en radian.
Remarque :
Si tu veux utiliser un angle en radian il faut prendre pour l'aire du secteur angulaire : \(\theta \times {r^2}\)
ce qui devrait donner \(\theta = sin(2\theta)\)

[Anaëlle]

J'ai bien fait attention à mettre ma calculatrice en degré et lorsque j'inscris mon égalité cela me donne:

\(\frac{π}{360}\)x 2X=sin2X
Est-ce que cela va quand même fonctionner ?

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Anaëlle,
tout dépend si ta calculatrice peut résoudre les équations. Sinon il te faut rentrer la fonction \(\frac{π}{360}2x-sin(2x)\) et voir quand elle s'annule.
Tu es presque au bout de ton exercice, je te laisse finir.
Beaucoup de motivation de ta part c'est très bien.
Bonne soirée.