la fonction exponentielle

[heloïse]

Bonjour j'ai un exo sur les nombres complexes mais je bloque dès le début !

Soit z = a + ib un nombre complexe

1) Déterminer la forme algébrique de z au carré puis son module.

Voilà ce que j'ai fait : z2 = (a + ib)^2 = a^2 - b^2 + 2iab...

Si je comprends bien la forme algébrique de z^2 est : a^2 - b^2 + i2ab
Et donc son module est |z^2| = |z|^2 = ( a + ib ) ( a -ib )

Est-ce que c'est ça ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour heloïse,
oui c'est bien ça.

[heloïse]

Merci pour votre aide !

Dans la question ou je bloque également, on me demande d'observer les parties réelles et de montrer que si z^2 = 1 + i alors a^2 - b^2 = 1.

Je ne vois pas comment repondre à cette question car selon moi a^2 - b^2 = 0 et non pas 1, étant donné que a = 1 et b = 1.

Pouvez-vous m'éclairer sur cette question s'il vous plaît.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as montré que \(z^2=a^2-b^2+\text{i}\times 2ab\), cela signifie que la partie réelle de \(z^2\) est \(a^2-b^2\).
On te dit alors que \(z^2=a^2-b^2+\text{i}\times 2ab=1+\text{i}\) : quelle est la partie réelle de \(1+\text{i}\) ?
Il te reste à identifier les parties réelles entre elles.

[SoS-Math(33)]

Tu as trouvé : \(z^2 = a^2 - b^2 + i2ab\)
donc si \(z^2 = 1 + i\) tu obtiens \(a^2 + b^2 = 1\) et \(2ab = 1\)
a et b ne sont pas forcement égaux à 1

[patrick]

La partie réel de z^2 est (a^2 - b^2) mais aussi 1 donc a^2 - b^2 = 1

C'est ça ?

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça
tu peux continuer l'exercice

[heloïse]

Ah oui c'est vrais !
Par contre le module de 1 + i c'est bien RC(2)

On me demande par la suite de déduire les solutions z = a +ib de z^2 = 1+ i
Est-ce que les solutions sont : RC (1+i) et - RC (1+ i) ?

[SoS-Math(33)]

Tu as déjà calculé |z|² , il te suffit d'écrire l'égalité entre ton résultat du début et celui que tu viens de trouver
|z^2| = |z|^2 = ( a + ib ) ( a -ib ) = a² + b²

[SoS-Math(33)]

Oui le module de \(1 + i\) est bien \(\sqrt{2}\)
tu as donc deux conditions pour a et b
a² + b² =
et a² - b² =
à toi de faire les calculs

[heloïse]

a² + b² = 2
et a² - b² = 1

Mais j'ai pas bien compris comment déduire les solutions de z^2 = 1 + i

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça,
ces deux égalités sont des conditions pour que z² = 1+i
donc tu dois résoudre ton système et trouver a et b qui vérifient ces deux équations et tu auras les solutions puisque z = a + ib

[heloïse]

Alors je trouve 4 solutions :

a = RC(3/2) et b = -RC (1/2)
ou
a = -RC(3/2) et b = RC (1/2)
ou
a = RC(3/2) et b = RC (1/2)
ou
a = -RC(3/2) et b = -RC (1/2)

Vous confirmez !

[SoS-Math(33)]

Oui ça semble correct il faut donner les quatre solutions sous la forme a + ib pour la rédaction.
C'est bien.

[heloïse]

On me demande ensuite de mettre sous forme trigonométrique 1 +i

Je trouve : RC(2) (cos pi/4 + i sin pi/4) c'est bien ça ?

Enfin on me demande les valeurs exactes de cos(pi/8) et de sin(pi/8)....et pour cette question je ne sais pas quoi faire !