la fonction exponentielle

[patrick]

1) fn est continue sur [n ; n+1]
2) fn est croissante sur [n;n+1]
3) les bornes de l'intervalle vérifient fn(n) < 0 et fn(n+1) > 0
Donc d'après le TVI, il existe une unique solution Un pour l'équation fn(x)=0 dans l'intervalle [n ; n+1]


Et pour compléter cette question je dis que : D'après l' étude précédente on a fn (n) < fn (Un) < fn (n+1) or comme la fonction fn est strictement croissante sur [ 0 ; + l'inf [ on peut écrire n < Un < n+1 !!

C'est ça ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
non, ce n'est pas la peine, d'après le TVI ta solution \(U_n\) est dans l'intervalle \([n\,;\,n+1]\) donc on a directement \(n<U_n<n+1\) !
Bonne continuation

[patrick]

Ok par contre si moi j'ai fait l'etude sur [0 ; + l'inf [ est-ce correct ?

[patrick]

Oui mais le domaine de définition de fn n'est justement pas [ 0 ; + l'inf [ .
Comme dit dans l'énoncé : " fn la fonction définie sur [0;+l'inf[ "

En faite j'ai pas compris pourquoi vous dites " moitié du domaine de définition " ?

[sos-math(21)]

Oui, pardon,
je me suis trompé de sujet !
L'étude sur \([0\,;\,+\infty[\) est suffisante.
J'ai supprimé le message précédent.

[patrick]

Ok, je vous remercie pour tout votre aide !

[patrick]

Bonjour, je reviens vers vous avec quelque petites questions relatives à cet exo !

1) Pour la première question, avant de dérivée fn je doit prouver qu'elle est dérivable : si je dit que fn est la somme de deux fonctions (rationnelle et exponentielle ) dérivables donc elle est dérivable, est-ce juste ?

2) Pour la question 3)a j'ai dis qu'on a : fn (n) < fn (Un) < fn (n+1) mais après pour justifier que n < Un < n+1 j'ai dit que c'est parce que fn est strictement croissante (strict monotonie ) est-ce la bonne justification ?

3) Enfin pour la dernière question (3)b) j'ai dit que comme on a : n < Un < n+1 et que comme n et n+1 tendent vers +l'inf lorsque n tend vers + l'inf alors d'après le théorème d'encadrement des limites, lim Un = + l'infini lorsque n tend vers + l'inf....est-ce juste ?....Dois-je bien dire "lorsque n tend vers + l'infini ?

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
1) pour la dérivabilité, c'est bien en décrivant \(f_n\) comme une somme de fonctions dérivables que l'on justifie la dérivabilité.
2) Je crois t'avoir déjà dit deux fois mais tu dois vraiment tenir à ton argument ou alors tu ne lis pas les messages. L'encadrement \(n<U_n<n+1\) provient du théorème des valeurs intermédiaires que l'on applique dans l'intervalle \([n\,;\,n+1]\) : \(U_n\) est l'unique solution de \(f_n(x)=0\) dans cet intervalle donc il est normal que \(U_n\in[n\,;\,n+1]\), ce qui veut bien dire \(n\leqslant U_n\leqslant n+1\). De plus, les images de \(n\) et \(n+1\) sont différentes de 0, donc \(U_n\) ne peut pas être égal à l'une des bornes donc on a bien \(n<U_n<n+1\) : j'espère avoir été clair pour la 3ème fois.
3) C'est bien le théorème d'encadrement qu'il faut appliquer lorsque \(n\to+\infty\).
Bonne conclusion

[patrick]

Oui mais comme je vous l'ai dit, moi je n'est pas fait l'etude sur l'intervalle [n ; n+1] mais sur [0 ; +l'inf[ qui est le domaine de définition de fn.
Du coup pour l'encadrement de Un il me faut un argument---> D'ou le mien : sricte croissance de fn sur son domaine de définition !

Mon argument est-il faux ?

Cdt

[SoS-Math(25)]

Bonjour Patrick,

Pour cet argument, il faut aussi que tu ajoutes la continuité sur ton intervalle d'étude sinon cela ne fonctionne pas.

A bientôt !

[patrick]

Ok merci beaucoup !

À bientôt !!

[SoS-Math(31)]

A bientôt sur le site.