Problème ouvert : géométrie, fonctions, trigonométrie...

[Anaëlle]

Bonjour tout le monde, vous allez bien ?
Alors j'ai un DM facultatif de maths à rendre mais je galère, j'aimerais que vous me donniez un point de départ (vous n'allez pas faire tout le boulot).
Alors, le problème se nomme: égalité d'aire.
On considère la figure ci-dessous, sur laquelle le centre du secteur circulaire est le sommet du triangle isocèle vert.
Pour quelle(s) valeur(s) l'angle d'ouverture du secteur circulaire les aires des parties rose et verte sont-elles égales ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour commencer, je te propose de nommer certaines inconnues.
Tu peux appeler \(x\) le rayon du cercle de sorte que la base de ton triangle isocèle soit \(2x\).
Tu peux ensuite appeler \(h\) la hauteur issue du sommet principal. Tu peux aussi appeler \(\theta\) la demi-mesure de l'angle du sommet principal comme sur le schéma ci-dessous :

Tu peux ensuite exprimer \(\theta\) en fonction de \(x\) et \(h\)
Je te conseille ensuite d'exprimer en fonction de \(h\) et \(x\) l'aire des deux surfaces.
Tu dois aboutir à une équation d'inconnue \(\theta\)
Bon courage

[Anaëlle]

Merci infiniment, vous avez été très clair dans vos explications.
J'ai juste quelques questions (désolée), j'ai suivi ce que vous m'avez conseillé et j'ai abouti à:
Pour θ en fonction de x et de h j'ai trouvé:
tanθ= x/h

Ensuite pour l'aire du triangle rectangle, je suis arrivée à:
A= (h*x)/2

Enfin pour l'aire du demi-cercle j'ai:
A= (1/2)xπxr²

A ce stade, je ne vois pas encore comment aboutir à l'équation d'inconnue θ.
Pourriez-vous de nouveau m'aider s'il vous plaît ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Anaëlle,
attention la partie verte est le double du triangle rectangle.
Pour la partie rose tu es sure que c'est un demi cercle? tu devrais peut être utiliser la formule du calcul de l'aire d'un secteur circulaire.

[Anaëlle]

Bonjour,
Alors j'ai corriger les fautes que j'avais faite et j'ai donc obtenu:

Aire du triangle rectangle: h*x

Aire du secteur circulaire: ((2π*r²)/360°)*θ°

Le rayon ne nous est pas donné, au départ j'avais pensé à h sauf qu'il ne va pas jusqu'au bout de la figure donc on en peut pas le considérer comme rayon et ainsi je ne vois pas comment finir de remplacer les expressions littérales par des expressions numériques.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
tu peux exprimer x et h en fonction de r et de \(\theta\) en utilisant les formules de trigonométrie

[Anaëlle]

Est-ce que ce sont les formules trigonométriques de base (CAHSOHTOA) qu'il faut utiliser ou d'autres plus spécifiques ? Car je ne parviens pas à exprimer x et h en fonction de r et de θ.
Merci

[SoS-Math(33)]

Oui c'est sin, cos et tan
Ton r est bien l'hypoténuse du triangle rectangle?
Si c'est le cas tu dois utiliser sin pour x et cos pour h
Je te laisse faire les calculs

[Anaëlle]

Et si ce n'est pas le cas ?
Parce que pour moi l'hypoténuse est un côté que je n'ai pas nommé et il n'y a aucun côté qui peut être rayon puisque aucun ne va jusqu'au bout.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,

Sans titre.png (7.25 Kio) Vu 6518 fois

Sur le schéma r est le rayon du secteur circulaire, ensuite tu peux relier \(\theta\) avec x et r par le sinus ET avec h et r par le cosinus

[Anaëlle]

Ah ben très bien, je ne voyais pas ça comme ça merci infiniment à vous et à l'autre modérateur de m'avoir aider. Bonne soirée et bonne année !!

[sos-math(21)]

Bonjour,
merci pour ton message de remerciements.
Bonne continuation