résolution équation

[cédric]

Bonjour,
en problème de recherche en cours poussé (pour se préparer au classes préparatoires),
je dois résoudre l'équation x(exp(x) - exp(-x)) - exp(x)=0
avec géogébra, je conjecture 2 solutions mais je n'arrive pas à le prouver.
J'ai essayé un changement de variables en posant X=exp(x) mais ça coince.
J'ai essayé de dériver et d'étudier les variations de la fonction associée à l'équation mais ça coince aussi ...
Y a-t-il moyen de déterminer les solutions exactes ???
Merci d'avance,
C.

[Cédric]

Bonjour,
je vous ai écrit hier à propos de la résolution de l’équation suivante : x(e^x - e^-x) - e^x = 0
Je pense qu’il a 2 solutions (que j’ai estimé grâce à Géogébra) que je voudrais trouver à la main.

J’ai déjà essayé de faire pas mal de choses comme d’arranger l’équation pour n’avoir que de l’exponentielle ( je trouve alors e^x = (x/(x-1))^0.5 mais après que faire ?) …

… ou bien n’avoir que du ln (je trouve alors ln (x/(x-1)) - 2x = 0 mais même problème je fais quoi après ?).

J’ai pensé à un changement de variables dès le début, en posant X = e^x (mais je me retrouver avec X^2 - 1 = (X^2) / x et qu’est-ce que je fais de x ? Par cette technique je voulais obtenir un trinôme ce qui m’aurait permis de calculer le discriminent ...
Pourriez-vous m'aider ?
Cordialement,
C.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

Tes différentes approches sont intéressantes, mais comme tu l'as constaté tu n'arrives pas à trouver les solutions.
En fait dans ce type d'équation on trouve rarement des solutions exactes !
Et pour ton équation \(x(e^x - e^{-x}) - e^x = 0\), je ne vois pas comment trouver les deux solutions.

SoSMath.

[Cédric]

Merci beaucoup.
Y a-t-il moyen de prouver qu'il y a exactement deux solutions, sans calculatrice ou logiciel ?
Merci encore,
cordialement,
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour prouver qu'il y a deux solutions, il faudrait pouvoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires en prouvant le sens de variation de la fonction associée.
Pour avoir le sens de variation, il faudrait avoir le signe de la dérivée, ce qui n'est pas évident... On déplace le problème.
Tu peux t'en sortir en disant que :
l'équation est équivalente à \(x(1-e^{-2x})-1=0\) en multipliant par \(e^{-x}\)
tu étudies la fonction \(f(x)=x(1-e^{-2x})-1\) : tu calcules sa dérivée (tu dois trouver \(f'(x)=2xe^{-2x}-e^{-2x}+1\)
IL faut étudier le signe de cette dérivée, je te suggère de calculer la dérivée de cette dérivée : \(f"(x)=4e^{-2x}(-x+1)\)
Tu trouves facilement le signe de la dérivée seconde qui te donne le sens de variation de ta dérivée ; tu peux alors en déduire le signe de celle ci (en plus c'est facile de trouver là où elle s'annule (en 0) puis le sens de variation de la fonction. Tu obtiendras les intervalles sur lesquelles elle est monotone. Par application du TVI, tu auras l'existence de deux solutions que tu pourras estimer à la calculatrice.
Bon courage

[Cédric]

Bonjour,
Je comprends votre réponse et vous en remercie.
De mon côté, j'avais trouvé que l'équation, sous la condition x différent de 0 était équivalente à x - exp(2x)/(exp(2x) - 1) = 0 mais si j'étudie la fonction qui à x associe x - exp(2x)/(exp(2x) - 1) je trouve une dérivée strictement positive 1+ 2exp(2x)/(exp(2x)-1)² et alors j'en déduirais avec le corollaire du TVI q'il n'y a qu'une solution.
Où est mon erreur ?
Merci d'avance de m'aider encore !
C.

[Cédric]

Bonjour,
oui, et je trouve comme dérivée de exp(2x)/(exp(2x) -1) ceci : - 2 exp(2x)/(exp(2x) - 1)².
d'où ce que j'avais marqué ...
Merci.
C.

[sos-math(21)]

Si on veut dériver \(g(x)=\dfrac{e^{2x}}{e^{2x}-1}\), en posant \(u(x)=e^{2x}\) et \(v(x)=e^{2x}-1\) on a \(g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2e^{2x}\times (e^{2x}-1)-e^{2x}\times 2e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}\) et on trouve bien ce que tu dis pour \(f'(x)\) qui est bien toujours strictement positive ...
Il y aurait a priori un problème, sauf que tu as affaire à un quotient qui a une valeur interdite 0, ce qui fait que ta fonction est définie sur \(]-\infty\,;\,0[\cup]0\,;\,+\infty[\) et qu'elle est continue et strictement croissante sur chacun de ces intervalles : il faudrait encore une fois appliquer le TVI sur deux intervalles, ce qui donnera deux solutions...
As-tu compris cette nuance ?

[Cédric]

Bonsoir,
oui, ça y est tout est clair (j'avais oublié la double barre en 0 dans le tableau de variation).
Les limites coïncident. Tout fonctionne pour appliquer le corollaire du TVI sur chacun des 2 intervalles.
Merci infiniment
C.

[SoS-Math(31)]

A bientôt sur le forum.