la fonction exponentielle

[patrick]

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice :

n est un entier non nul et fn la fonction définie sur [0;+l'inf[ par fn(x)= 1 - ( (2n)/(x+n) ) - e^-x

1)a) Etudiez les variations de fn.
b) Précisez fn(0) et lim x ->+l'inf fn(x).

2)a) Calculez fn(n) et précisez son signe.
b) Démontrez par récurrence que pour tout entier n non nul, e^n+1 > 2n+1

c) Déduisez-en le signe de fn(n+1)

3) Démontrez que l'équation fn(x)=0 a une unique solution Un et que n < Un < n+1
En déduire la limite de la suite (Un)


Pour la question 1)a) J'ai calculer la dérivée et je trouve Fn'(x) = 2x - 2n - e^-x
Je dis donc que fn est strictement décroissante sur [0;+l'inf[

Est-ce que c'est déjà bon !

[sos-math(21)]

Bonjour
quelle est l'expression exacte de ta fonction ?
Est-ce \(f_n(x)=1-\dfrac{2n}{x+n}-e^{-x}\) ?
Si c'est cela, ta dérivée n'est pas égale à ce que tu dis, tu devrais trouver \(f'_n(x)=\dfrac{2n}{(x+n)^2}+e^{-x}\) et cette dérivée est clairement positive
En revanche la dérivée que tu trouves n'est pas d'un signe direct à déterminer : tu ne peux pas conclure que la tienne est positive.
Reprends cela

[patrick]

Ah oui je trouve bien cela, je dit donc que : on remarque que la dérivée est strictement positive sur R donc Fn est strictement croissante sur [0;+inf [ ---- cela suffit t-il pour la première question ?

[patrick]

Pour la question b) j'ai fait :

fn (0) = 1 - (2n/0+n) - e^0
fn (0) = -2

Et lorsque x --> +inf

On a 1 --> 1
-2n/x+n --> 0
-e^-x --> 0

D'ou par somme lim x-->+inf fn (x) = 1

Tous cela est-il correct ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut justifier le signe de la dérivée en disant que c'est une somme de deux termes strictement positifs donc que c'est une fonction strictement positive.
Pour l'image de 0 et les limites, cela me semble correct.
Bonne continuation

[patrick]

Voici ma réponse pour la question suivante 2a)

Fn (n) = 1 - (2n/n+n) - e^-n
Fn (n) = - e^ -n

Fn est donc négative sur R (de signe - )

Cela vous semble t-il correct ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis d'accord avec ton calcul et ta conclusion : ton image est bien négative.
En revanche tu ne peux conclure que sur le signe de ce nombre \(f_n(n)\) mais pas sur le signe de ta fonction (tu parles de signe sur \(\mathbb{R}\)).
D'ailleurs ce n'est pas demandé, on veut que tu donnes le signe de l'image seulement.
Bonne continuation

[patrick]

Pour la question 2b j'ai démontrer par récurrence que e^n+1 > 2n + 1 et pour la question suivante je trouve :

Fn ( n+1) = 1 - (2n / 2n+1) - e^-n-1
Fn ( n+1) = -e^-n-1

Je conclut donc que le signe de Fn ( n+1) est -

Vous confirmez ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton calcul de \(f_n(n+1)\) est faux : tu dois avoir à un moment \(\frac{2n}{2n+1}\) qui ne se simplifie pas !
Reprends ton calcul et mets tout sous le même dénominateur \(2n+1\) et tu pourras utiliser ce que tu as trouvé auparavant \(e^{n+1}>2n+1\)
Bon calcul.

[patrick]

Bonjour,
fn (n+1) = 1 - ( 2n / n+1+n) - e^-(n+1)
fn (n+1) = 1 - (2n/2n+1) - e^-n-1......et la je suis bloqué !!

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
tu obtiens fn (n+1) = 1 - (2n/2n+1) - e^-n-1
calcule 1-(2n/2n+1) en mettant au même dénominateur mais garde \(e^{-n-1}\) sous la forme \(e^{-(n+1)}\)

[patrick]

Cela donne alors :

(2n+1 / 2n+1) - (2n/2n+1) - e^-(n+1)
<=> [(2n + 1 - 2n) / (2n + 1)] - e^-(n+1)
<=> [1/(2n+1)] - e^-(n+1)

Mais je ne vois toujours pas comment je peut en déduire le signe !!

Merci pour votre aide

[SoS-Math(33)]

Bonsoir,
oui tu obtiens bien \(\frac{1}{2n+1} - e^{-(n+1)}\)
il faut te rappeler que tu as montré précédemment que \(e^{n+1}>2n+1\)
ce qui donne \(\frac{1}{e^{n+1}}<\frac{1}{2n+1}\)
et \(\frac{1}{ e^{(n+1)}}=e^{-(n+1)}\)
je te laisse terminer

[patrick]

Ah super j'ai compris maintenant !

Et pour compléter cette question je dis que : D'après l' étude précédente on a fn (n) < fn (Un) < fn (n+1) or comme la fonction fn est strictement croissante sur [ 0 ; + l'inf [ on peut écrire n < Un < n+1 !!

Enfin pour la dernière question je dis que n et n+1 tendent vers +l'inf lorsque n tend vers +l'inf donc d'après le théorème d'encadrement des limites, la limite de Un et aussi + l'inf lorsque n tend vers + l'inf !!

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la question 3, c'est plutôt le théorème des valeurs intermédiaires qu'il faut que tu appliques sur l'intervalle \([n\,;\,n+1]\) :
1) ta fonction est ..... sur \([n\,;\,n+1]\) ;
2) ta fonction est ......... sur \([n\,;\,n+1]\) ;
3) les bornes de l'intervalle vérifient \(f_n(n).....\) et \(f_n(n+1)......\)
Donc d'après le TVI, il existe une unique solution \(U_n\) pour l'équation \(f_n(x)=0\) dans l'intervalle \([n\,;\,n+1]\)
Je te laisse compléter les pointillés.
Bon courage