Critèere de divisibilité par 11

[Sophie]

Bonjour !

Pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

j'ai un exercice de spécialté Maths.
Normalement, vous trouverez en pièce jointe l'énoncé car il n'est pas évident à taper, avec les symboles.
J'ai aussi ajouté la première étape de la recherche, qui a amené à trouver le critère de divisibilité par 11.
Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la différence des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de range impair est divisible par 11. La réciproque a aussi été démontrée.
Je ne sais pas comment poursuivre, afin de démontrer ceci dans le cas général ?
Pourriez-vous me donner des pistes svp ?

Merci de votre aide !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Tu peux montrer que \(10^{2p}\equiv -1 [11]\) et \(10^{2p+1}\equiv 1 [11]\).

SoSMath.

[Sophie]

Merci de votre réponse !

Il manquait dans mon message précédent la pièce jointe concernant le travail de recherche. Je la joins cette fois !


Pour montrer que 10^2p est congru à -1 [11]
10 congru à -1 [11]
Donc 10^2p congru à (-1)^2p [11]
Soit 10^2p congru à 1 [11]

Je dois faire une erreur puisque je dois trouver que cela congrue à -1 ?

Et 10^2k+1 congru à (-1)^2p+1
Soit 10^2k+1 congru à (-1)
Or, je devais montrer que cela congruait à 1 ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Sophie,

C'est toi qui a raison ! J'ai fait une petite erreur de signe ...
On a bien 10^2p congru à 1 [11] et 10^(2p+1) congru à (-1).

SoSMath.

[Sophie]

Bonjour !
D'accord merci beaucoup !
Cela revient à dire que le nombre 10 élevé à une puissance paire congru à 1[11] et que 10 élevé à une puissance impaire congru à (-1) [11] ?

Je,ne sais pas trop comment poursuivre ...
Suis-je sur la bonne voie ?
N congru à 10^n an + 10^ (n-1) a (n-1) ... + 10 x a1 + a0 [11]
Soit N congru à (-1)^n an + (-1)^ (n-1) a (n-1) ... + (-1) x a1 + a0 [11]

Ensuite, on procède par disjonction des cas, si n est pair n=2k avec k appartient à Z
Et si n est impair n=2k+1 avec k appartient à Z ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela.
Par exemple, si n est pair, on fait donc la somme alternée : \(a_n-a_{n-1}+....-a_1+a_0\). Si cette somme est divisible par 11, alors ....
De même si \(n\) est impair.
Bonne rédaction

[Sophie]

Merci de votre réponse !

Donc N congru à an -a(n-1) -a1 +a0 [11]
Si cette somme est divisible par 11 alors elle est congrue à 0[11] ? Est-cela ? Et N congru à 0[11] ?

Si n est impair, alors -an + a(n+1) ... -a1 +a0 congru à 0 [11] ?

Finalement, N est divisible par 11 s'il peut s'écrire N= 10^n an... a0 et que
Si n est pair alors : an -a(n-1) -a1 +a0 congru à 0 [11]

Et si n est impair : alors -an + a(n+1) ... -a1 +a0 congru à 0 [11]

Est-ce cela ?

Le problème, c'est que le nombre choisi doit obligatoirement s'écrire avec des puissances de 10 et des indices ? ( la deuxième notation de l'énoncé )?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Non, ton nombre N ne s'écrit pas sous forme de puissance de 10 ...
Les puissances de 10 sont justes là pour faire "apparaître" les chiffres des unités, des dizaines, ...
Par exemple \(N = 131\) s'écrit aussi \(N=1\times 10^2 + 3\times 10^1 + 1\times 10^0\).

SoSMath.

[Sophie]

Bonjour !
D'accord merci de votre réponse !

Donc tout nombre peut s'écrire sous forme d'une puissance de 10.
La deuxièmes écriture de N n'est que qu'une autre façon d'écrire ce nombre ( noté avec la barre)?

J'ai une question : La notation d'un nombre avec une barre au-dessus, signifie qu'il s'agit de l'écriture décimale de ce nombre ? abcd (barre) signifie que à est le chiffre des milliers, b le chiffre des centaines ?

J'ai une quatre question concernant, un de vos messages précédents : " la somme alternée " signifie que après un signe plus, il y a un signe moins ( entre trois termes consécutifs )?

Merci de votre aide !

[SoS-Math(9)]

Sophie,

La notation avec une barre est effectivement une autre notation d'une entier, lorsque celui ci est donné avec des lettres a ...
Pour la somme alternée signifie bien qu'après un signe plus, il y a un signe moins.

SoSMath.

[Sophie]

Très bien merci beaucoup !

J'ai une dernière question !

On à d'abord démontré que N est divisible par 11 si et seulement si la différence de la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres impair est divisible par 11.

Puis, on a démontré la réciproque. Concernant la phrase de conclusion de la réciproque, ces deux phrases veulent-elles dire la même chose ?

- la différence de la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de range impair est divisible par 11, si et seulement si, N est divisible par 11 ?

OU

- si la différence de la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de range impair est divisible par 11, alors N est divisible par 11 ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Non, les deux phrases ne veulent pas dire la même chose !
Dans la phrase avec "si et seulement si" il y deux phrases ....
"la différence de la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de range impair est divisible par 11, si et seulement si, N est divisible par 11 "
équivaut à
" Si la différence de la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est divisible par 11, alors N est divisible par 11 "
et " Si N est divisible par 11, alors la différence de la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est divisible par 11 "

SoSMath.

[Sophie]

D'accord merci !

Quant à la rédaction du raisonnement par disjonction de cas,
Si n est pair alors...
Si n est impair alors...
Je ne dois pas, fair la réciproque de chaque cas ?

Dernière chose, quand ont dit que 10^2p congru à 1[11], p appartient à Z ou N ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu raisonnes sur des nombres entiers donc tu as affaire à des puissances de 10 d'exposant positif donc \(n\in\mathbb{N}\)
Pour la disjonction de cas, un critère est une équivalence donc théoriquement tu dois faire la réciproque.
Bonne rédaction