Maths - Probabilité, Variable aléatoire.

[Juju]

Bonjour,

Je suis en difficulté sur un exercice de maths. J'ai essayé différentes méthodes avec mon cours, mais je doute que ce soient les bonnes...

Le sujet étant :
"Dans un aquarium se trouvent 5 poissons (1 mâle et 4 femelles) valant chacun 2€. Il y a aussi 3 poissons (1 mâle et 2 femelles) valant chacun 5€. On tire simultanément 3 poissons blancs de cet aquarium. On suppose que les 8 poissons ont tous la même chance d'être pêchés.
1. X désigne la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de mâles obtenus parmi les 3 poissons.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Donner les valeurs de l'espérance E(X) et de la variance V(X).

2. Soit Y la variable aléatoire "prix des 3 poissons pêchés "
a) Quelles sont les valeurs prises par Y ?
b) Trouver la loi de probabilité de Y.
c) Quelle est la valeurs des 3 poissons que l'on peut espérer obtenir ?
d) Calculer la variance V(Y) puis l'écart-type σ(Y).
e) Définir puis représenter la fonction de répartition de Y.
f) En déduire la probabilité que les 3 poissons pêchés rapportent 10€ au plus; au moins 10€; moins de 10€.

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Juju,

Pour la question 1a, il faut calculer les probabilités P(X=0), P(X=1), P(X=2) et P(X=3) pour obtenir la loi de probabilité de X.
Enfin pour la 1b, regarde ton cours il y a une formule pour calculer l'espérance E(X) et de la variance V(X).

SoSMath.

[Juju]

Merci beaucoup,

J'avais donc bien fait les deux premières questions de la partie 1), mais en revanche la partie 2) me pose vraiment problème...

[SoS-Math(31)]

Bonjour Juju,
Si les 3 poissons tirés valent chacun 2 € alors Y = 3 * 2 = 6
Si seulement deux poissons tirés valent 2 €, l'autre coûtera 5 € alors Y = 2 * 2 + 5 = 9
etc

[Juju]

1a) P(X=0)=0/8 ; P(X=1)=1/8 ; P(X=2)=6/8) ; P(X=3)=1/8

1b) E(X)= 0*(0/8)+1*(1/8)+2*(6/8)+3*(1/8) = 2
Pour la variance je ne suis pas certaine de la formule ... (V(X)=E[(X-E(X))²])

2a) 3 poissons 2€ : 3*2=6€ ; 2 poissons 2€ + 1 poisson 5€ : 2*2+5=9€ ; 1 poisson 2€ + 2 poissons 5€ = 1*2+2*5=12€ ; 0 poissons 2€ + 3 poissons 5€ = 0*2+3*5=15€
3 poissons 5€ : 3*5=15€ ; 2 poissons 5€ + 1 poisson 2€ : 2*5+2=12€ ; 1 poisson 5€ + 2 poissons 2€ = 1*5+2*2=9€ ; 0 poissons 5€ + 3 poissons 2€ = 0*5+3*2=6€

2b) P(Y=0) ; P(Y=1) ; P(Y=2) ; P(Y=3) ?

2c) 6€ ?

2d) V(Y)=
σ(Y)= √V(Y)

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu parles d'éspérance et de variance donc je pense que tu n'es pas en seconde.
Pour déterminer les tirages possibles tu considères une combinaison de 3 éléments à choisir dans une liste de 8 éléments : les tirages possibles sont donc \(\binom{8}{3}=56\).
Ensuite tu cherches les tirages contenant 0,1 ou 2 mâles parmi les trois poissons : il faut donc travailler en deux catégories : mâles et femelles.
Pour avoir 0 mâle, il faut choisir 0 éléments parmi deux \(\binom{2}{0}\) (catégorie mâle) et 3 éléments parmi 6 \(\binom{6}{3}\) (catégorie femelles) donc cela fait au final \(\binom{2}{0}\times\binom{6}{3}=...\) tirages possibles pour cette issue.
Je te laisse poursuivre pour les autres cas : 1 mâle puis 2 mâles.
Pour la variable aléatoire Y, il faut raisonner sur les catégories de prix, c'est un autre univers.
Bon courage