comparer f(x') et f(x) en étudiant le signe de leur diffère

[yann]

Bonsoir SOS math

j'ai une démonstration que j'ai vu en début d'année et j'aimerais la refaire
Pouvez vous m'aidez ?

on compare f(x) et f(x') en étudiant le signe de leur différence

soit \(f(x') = ax'^{2} + bx' + c\)
et soit \(f(x') = ax^{2} + bx + c\)


\(f(x') - f(x) = ax'^{2} + b x' + c - (ax^{2} + bx + c)\)

\(f(x') - f(x) = ax'^{2} + b x' + c - ax^{2} - bx - c\)
je regroupe les expressions
\(f(x') - f(x) = ax'^{2} - ax^{2} + bx' - bx + c - c\)
je factorise
\(f(x') - f(x) = ax'^{2} - ax^{2} + bx' - bx - c + c = a( x'^{2}- x^{2}) + b (x' - x)\)
je développe
\(a( x'^{2}- x^{2}) + b (x' - x) = a(x' + x) (x' - x) + b(x' - x)\)
\(f(x') - f(x) = \left(x' - x\right) (a (x' + x) +b)\)

il faut étudier le signe de leur différence
leur différence est bien \(f(x') - f(x) = \left(x' - x\right) (a (x' + x) +b)\)

c'est cela ??

[SoS-Math(33)]

Bonjour yann,
c'est dans quel but que tu veux comparer f(x) et f(x') ? pour connaitre la variation?

[yann]

Bonjour SOS 33

en fait il s'agit de la démonstration qui est vue en cour

je sais faire le développement jusqu'à la factorisation
mais après je ne sais plus rien faire

pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

yann

[SoS-Math(31)]

Come x < x', le terme x' - x est positif donc n'intervient pas dans le signe de f(x) - f(x'). f(x) - f(x') est donc du signe de l'autre terme.
1er cas x et x' sont dans ] - infini ; -b/(2a)] alors en ajoutant x + x' < - \(\frac{b}{a}\) d'où x +x' + \(\frac{b}{a}\) < 0. Ainsi f(x') - f(x) est du signe opposé à a.

[yann]

Bonjour SOS 31

merci d'être intervenu

\(f(x') - f(x) = (x' - x) \begin{bmatrix} a (x' + x) + b \end{bmatrix}\)
on cherche le signe d'un produit qui dépend des facteurs de ce produit

si le premier terme est positif , c'est à dire si (x' - x) > 0 alors f(x') - f(x) a le signe de \(\begin{bmatrix} a (x' + x) + b\end{bmatrix}\)

pour ce que j'ai mis en bleu -----> c'est Ok

par contre pour l'étude du signe de \(\begin{bmatrix} a (x' + x) + b\end{bmatrix}\)
là , je ne comprends rien du tout !!
pouvez vous m'aidez ?
en me donnant quelques pistes ?
merci
yann

[SoS-Math(31)]

On met a en facteur :
a[x + x' - \(\frac{b}{a}\)]
alors si x et x' appartiennent à ]-infini; -b/(2a)] alors x + x' <- b/a donc le facteur entre les crochets est négatif. Ainsi si a > 0, f(x) - f(x') < 0 et inversement si a < 0.

[yann]

Bonsoir SOS 31

ça va un peu mieux , mais je ne percute pas (si je peux me permettre de parler de cette façon)

pour quelle raison doit on mettre a en facteur dans \((x' - x) \begin{bmatrix} a ( x' + x) + b \end{bmatrix}\)

[SoS-Math(31)]

Tu avait dans ton expression en bleue a(x + x') + b. Elle est égale à a[x + x' + \(\frac{b}{a}\)]

[yann]

Bonsoir SOS 31

\(a (x + x' ) + b = a \begin{bmatrix} x + x' + \frac{b}{a} \end{bmatrix}\)

ça c'est bien compris , c'est même super facile à faire

ce que je ne comprends pas , c'est l'idée de mettre a en facteur
plus exactement , comment on a l'idée de mettre a en facteur ??

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'étude du signe d'une expression est facilitée si cette expression est factorisée : en effet, connaissant la règle des signes, on peut gérer le signe d'un produit.
Donc il faut chercher à écrire l'expression sous forme d'un produit de facteurs dont on connaît facilement le signe.
C'est pourquoi on cherche à factoriser au maximum l'expression : mettre \(a\) en facteur permet de gérer le signe de \(a\) et d'obtenir un autre facteur dont on peut connaître le signe en fonction de l'intervalle d'appartenance de \(x\) et \(x'\) : \(x+x'+\dfrac{b}{a}\) est de signe constant dans chacun des deux intervalles.
Est-ce plus clair ?

[yann]

Bonjour SOS math

merci beaucoup
c'est quand meme un peu plus clair dans mon esprit grâce à vos explications

dans cette démonstration , il s'agit de deux paraboles

1) la première , c'est \(f(x') = ax' ^2 + bx' +c\)

2 ) la deuxième ,c 'est \(f(x) = a x^2 + bx + c\)

c'est bien cela ??

[sos-math(21)]

Re-bonjour,
il s'agit en fait d'une seule et même parabole pour laquelle on calcule deux images \(f(x)\) et \(f(x')\). Afin de les comparer pour établir le sens de variation de la fonction, on calcule leur différence et on étudie le signe de cette différence :
- si \(x<x'\) et \(f(x)-f(x')<0\), alors les images sont dans le même ordre que les antécédents donc la fonction est strictement croissante ;
- si \(x<x'\) et \(f(x)-f(x')>0\), alors les images sont dans l'ordre inverse des antécédents donc la fonction est strictement décroissante ;
Le but de ce calcul est de DEMONTRER le sens de variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax^2+bx+c\).
On se rend compte que ce sens de variation varie selon les intervalles \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{-b}{2a}\right]\) et \(\left[\dfrac{-b}{2a}\,;\,+\infty\right[\) et aussi en fonction du signe de \(a\).
Est-ce plus clair ?

[yann]

Bonsoir SOS math

tout d'abord merci beaucoup à SOS math

et à vrai dire , cette démonstration , je la trouve bien compliquée ( je ne suis peut être pas au niveau ?????)

si f est une fonction définie sur un intervalle [-5, 17] par f(x) = 2 x + 3
alors pour tout nombre quelconque x compris entre - 5 et 17 , x possède une et une seule image par la fonction f et il se note f(x) et vaut 2x + 3

3 aura pour image 2 * 3 + 3 = 9


on a donc \(f(x) = a x^{2}+ b x + c\)


si x < x ' et f(x) - f(x') < 0

les images c'est bien f(x) et f(x')

et les antécédents , c'est bien x < x'


j'espère ne pas trop vous déranger mais j'ai besoin de comprendre

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

si x < x ' et f(x) - f(x') < 0 ici, si tu as cela tu as donc Si x<x' alors f(x)<f(x'). Les antécédents et les images sont dans le même ordre ce qui permet de dire que la fonction est croissante sur l'intervalle I dans lequel tu as pris les nombres x et x'

les images c'est bien f(x) et f(x') Ce sont effectivement les images

et les antécédents , c'est bien x < x' et ici les antécédents.

Pour cette démonstration, il faut retenir que l'on cherche à comparer les images en étudiant le signe de leur différence ; que ce signe dépend du signe de "\(a\)" et de l'intervalle considéré.
On a \(f(x′)−f(x)=(x′−x)[a(x′+x)+b]=(x'-x)a(x'+x+\frac{b}{a})\).
Lors de cette démonstration on pose x'>x ce qui équivaut à x'-x>0 On a donc que le signe de cette différence dépend du signe de \(a\) et de \(x'+x+\frac{b}{a}\).
Pour le signe de \(x'+x+\frac{b}{a}\) on a donc deux cas :
Si x et x' sont dans l'intervalle \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) on a alors \(x<\frac{−b}{2a}\) et \(x'<\frac{−b}{2a}\) donc \(x+x'<\frac{−b}{2a}+\frac{−b}{2a}\) soit \(x+x'<\frac{−2b}{2a}\) soit \(x+x'<\frac{−b}{a}\) c'est à dire \(x+x'+\frac{b}{2a}<0\).
Sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) , \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \((-a)\).
Sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\), \(x>\frac{−b}{2a}\) et \(x'>\frac{−b}{2a}\) donc \(x+x'>\frac{−b}{2a}+\frac{−b}{2a}\) soit \(x+x'>\frac{−b}{a}\) c'est à dire \(x+x'+\frac{b}{a}>0\)
Finalement, sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\) \(f(x')-f(x)\) est donc du signe de \(a\).

Pour \(a>0\), \(f\) est décroissante sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) (\(f(x')-f(x)<0\) (signe de \((-a)\) ) c'est à dire \(f(x')<f(x)\) avec \(x'>x\) c'est la définition même d'une fonction décroissante sur l'intervalle)
et \(f\) croissante sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\) (\(f(x')-f(x)>0\) (signe de \(a\)) c'est à dire \(f(x')>f(x)\) avec \(x'>x\)).

Pour \(a<0\), \(f\) est croissante sur \(]−∞;\frac{−b}{2a}]\) (\(f(x')-f(x)>0\) (signe de \((-a)\) ) c'est à dire \(f(x')>f(x)\) avec \(x'>x\) c'est la définition même d'une fonction croissante sur l'intervalle) et \(f\) décroissante sur \([\frac{−b}{2a};+∞[\) (\(f(x')-f(x)<0\) (signe de \(a\) ) c'est à dire \(f(x')<f(x)\) avec \(x'>x\)).

Tu retrouves ainsi la variation des fonction du second degré !
Bonne continuation.

[yann]

merci SOS math