pour quelles valeurs de m , le trinôme est positif à l'extér

[yann]

Bonsoir SOS math

merci beaucoup pour votre soutient

soit le trinôme \(f(x) = \left(m - 1 \right)x^{2}-2 \left(m + 1 \right)x + 2 m - 1\)

pour quelles valeurs de m , le trinôme est :
- est positif , à l'extérieur de ses 2 racines réelles ?
-est négatif , à l'extérieur de ses 2 racines réelles ?

je calcule le discriminant

\(\Delta = \left( 2 (m+1)\right)^{2} - 4 \begin{bmatrix} (m-1) (2m - 1) \end{bmatrix} = 4 \left(m^{2 }+ 2 m + 1 \right) - 4\begin{bmatrix} 2m^{2}-3 m + 1 \end{bmatrix}\)

∆ = \(4 \begin{bmatrix} \left(m^{2 }+ 2 m + 1 \right) - ( 2m^{2}-3 m + 1) \end{bmatrix}\)

∆ = \(4 \begin{bmatrix} \left(m^{2 }+ 2 m + 1 \right) - 2m^{2}+3 m - 1 \end{bmatrix}\)

\(\Delta = 4(- m^{2} + 5m ) = 4 m ( - m + 5)\)

j'ai commencé à faire le calcul des racines
\(x = \frac{- b - \sqrt{\Delta }}{2a}= \frac{2 (m+1)-\sqrt{4m(-m + 5)}}{2(m-1)}\)

[SoS-Math(33)]

Bonsoir yann,
il faut se rappeler que le polynôme \(ax^2+bx+c\) est du signe \(a\) à l'extérieur des racines.
Dans ton cas \(a\) est \(m-1\)

[yann]

Bonsoir SOS 33

donc il faut étudier le signe de (m-1)

m - 1 est positif si et seulement si m - 1 > 0
m > - 1
puis je multiplie par - m de chaque coté ??

[SoS-Math(33)]

Bonjour yann,
il faut étudier le signe de ton \(\Delta\) pour savoir quand il y a des solutions en fonction de m puis effectivement le signe de m-1
Attention: m-1>0 donne m-1+1>0+1 soit m>1

[yann]

Ok
bonjour SOS33

je vais me consacrer à l'étude du signe du discriminant

∆ = 4 m (m - 5)

on a un produit donc le signe dépend des facteurs de ses produits
le premier facteur est 4m
le deuxième facteur est (m - 5)

c'est de cette façon qu'il faut raisonner ?

merci SOS math

[SoS-Math(31)]

Bonjour yann,
Tu peux faire un tableau de signe première ligne 4m qui sera négatif jusqu'à 0 puis positive. Dans le second ligne, on étudie le signe de m - 5 qui est négatif jusqu'à 5 puis positif. ensuite, sur la dernière , on applique la règle des signes d'un produit.
Autre méthode : \(\Delta\) est un polynôme de degré 2 dont les racines sont 0 et 5 donc du signe de a à l'extérieur des racines alors négative sur [0;5].