trouver beta avec la forme canonique

[yann]

Bonjour

tout tri nôme du second degré sous la forme développée $f(x) = a x^{2}+ b x + c$
peut se mettre sous la forme canonique $f(x) = a \left(x - \alpha \right)^{2}+ \beta$

avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$et $\beta =\frac{-b^{2} -4 a c }{4a}$

j'aimerai trouver l'expression $\frac{-b^{2 }- 4a c}{4a}$

en remplaçant $\beta =\frac{-b^{2} -4 a c }{4a}$ dans la forme réduite

ce qui me donne $a(x - (-\frac{b}{2a}))^{2}+ \beta$

je développe $a(x ^{2} - x * (-\frac{b}{2a})- x * (-\frac{b}{2a}) + (-\frac{b}{2a})^{2}) + \beta$




je simplifie un peu pour avoir $a(x ^{2} - (2 * x * (-\frac{b}{2a}))+ (-\frac{b}{2a})^{2}) + \beta$

je n'arrive pas à poursuivre avec $(-\frac{b}{2a})^{2}$
est ce que c'est $(-\frac{b^{2}}{4a^{2}})$
je suis un peu embêté avec ce signe - à l'intérieur de la parenthèse

pouvez - vous m'aidez s'il vous plait ??

yann

[SoS-Math(33)]

Bonjour Yann,
le signe - est à l'intérieur de la parenthèse donc il est impacté par le carré.
Rappelle-toi -x- donne + donc $(-\frac{b}{2a})^{2}$ = $(\frac{b^{2}}{4a^{2}})$

[yann]

Bonjour SOS 33

merci de m'aider

$a(x ^{2} - (2 * x * (-\frac{b}{2a}))+ (-\frac{b}{2a})^{2}) + \beta$

donc comme $(-\frac{b}{a})^{2}= \frac{b^{2}}{4a^{2}}$

$a\begin{bmatrix} x^{2}- (2 *x*(-\frac{b}{a}))+ \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix} + \beta$

$a\begin{bmatrix} x^{2}+ 2 *(\frac{b}{a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix} + \beta$


au niveau de l'écriture c'est OK ??

[SoS-Math(33)]

Bonjour Yann,
au niveau de l'écriture c'est ça sauf que tu as perdu un "2" en cours de route au dénominateur au niveau de :$(-\frac{b}{a})^{2}= \frac{b^{2}}{4a^{2}}$, c'est $(-\frac{b}{2a})^{2}= \frac{b^{2}}{4a^{2}}$ et aussi au niveau de $(-\frac{b}{a})$ qui est $(-\frac{b}{2a})$, ce qui doit te donner au final $a\begin{bmatrix} x^{2}+ 2 *(\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix} + \beta$

[yann]

Ok
merci de m'avoir répondu

je continue à $a[x ^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}]+ \beta$




le but est de trouver la valeur de Beta

donc $\beta = - [a[x ^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}]]$

[SoS-Math(33)]

Fait attention Yann, tu as oublié la question du départ.
Tu avais $f(x) = a x^{2}+ b x + c$ et tu veux l'identifier à $f(x) = a[x ^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}]+ \beta$ pour trouver la valeur de $\beta$.
Il te faut penser à l'égalité des deux écritures.

[yann]

Ok

je reprends $f(x) = a x ^{2}+bx +c$(forme développée)

et $f(x) = a(x - \alpha )^{2}) + \beta$(forme canonique)

donc $a x ^{2}+bx +c = a(x - \alpha )^{2}) + \beta$


soit $ax^{2}+ bx +c = a\begin{bmatrix} x^{2}+2 * (\frac{b}{2a})x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta$

[SoS-Math(33)]

Oui Yann c'est ça.

[yann]

merci SOS 31

dans cette expression -----> $a\begin{bmatrix} x^{2}+2 * (\frac{b}{2a})x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta$

je dois trouver $\beta = -\frac{b^{2}- 4 a c}{4a}$

est ce que je peux faire $a\begin{bmatrix} x^{2}+2 * (\frac{b}{2a})x \end{bmatrix}- \frac{b^{2}}{4a} +\beta$

[SoS-Math(33)]

Attention Yann quand tu distribues a sur $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ et que tu le sors du crochet le signe ne change pas

[yann]

Bonsoir SOS 31


$a\begin{bmatrix} x^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta$

je peux éliminer les 2

ce qui donne$a\begin{bmatrix} x^{2} + \frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta$

je vais essayer de mettre au meme dénominateur
$a\begin{bmatrix} x^{2} + (\frac{4ab}{4a^{2}})x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta$




il faut faire apparaitre $\beta = -\frac{b^{2}- 4ac}{4a}$

j'ai pas l'impression que je suis sur la bonne voie

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Yann,

Je ne comprends pas ce que tu fais ...

$ax^2+bx+c$
= $a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
= $a(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c$ car $\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}=0$
= $a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}]+c$
= $a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c$

et donc $\beta=-\frac{b^2}{4a}+c$

SoSMath.

[yann]

Bonsoir SOS 31

cette démonstration je l'ai comprise

je voulais faire une autre démonstration

on sait que pour calculer la forme canonique on a $\alpha = -\frac{b}{2a}$
et$\beta = -\frac{b^{2} - 4 a c }{4a}$

en remplaçant $\alpha = -\frac{b}{2a}$ dans $a (x - \alpha )^{2} + \beta$

c'est à dire $a (x - (-\frac{b}{2a}) )^{2} + \beta$
et ensuite je développe en espérant trouver la valeur de Beta

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Yann,

Effectivement, en développant $a (x - (-\frac{b}{2a}) )^{2} + \beta$, tu devrais trouver, par identification :

$c = \beta + \dfrac{b^2}{a}$

Tu sais que la forme développée est $ax^2 + bx + c$

Tu as aussi : $a(x^2 +2\times \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2})+\beta$

Développe simplement cette dernière forme en distribuant le coefficient a. Après quelques simplifications, tu devrais avoir :

$ax^2 + bx + ?$ où ? est forcément égal à c.

Bon courage !

[yann]

Bonsoir SOS (25)

je reprends
à partir de $a \begin{pmatrix} x^{2} + 2 * (\frac{b}{2a}) x + \frac{b^{2}} {4a^{2}}\end{pmatrix} + \beta$

je simplifie les 2

ce qui donne $a \begin{pmatrix} x^{2} + (\frac{b}{a}) x + \frac{b^{2}} {4a^{2}}\end{pmatrix} + \beta$

je développe

j'obtiens $a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4a}+ \beta$