DM Fonctions

[Maya]

Bonjour,
J’ai un DM à rendre pour mardi sur les fonctions, j’en ai déjà fait une grande partie mais je bloque sur certaines questions… Pouvez-vous m’aider et vérifier ce que j’ai déjà fait ?
Merci d’avance !
Maya

Exercice 1 :

1)\(f(0)=0\sqrt{0(4-0)}=0 f(4)=4\sqrt{4(4-4)}=0\)

2)Soit f la fonction définie par \(f(x)= x\sqrt{x(4-x)}=x\sqrt{4x-x^{2}}\).
La fonction racine carré n'existe que pour des réels positifs alors l'ensemble de définition de f sera dons l'intervalle pour lequel \(-x^{2}+4x\geq0\)
Trouvons l'intervalle de ce polynôme, polynôme que nous nommerons P(x) :
\(-x^{2}+4x\geq0\)
a=-1 b=4 c=0
D=16 (>0)
x1=4 et x2=0

3) J'ai trouvé la bonne dérivée mais je ne sais pas comment montrer que f est dérivable sur ]0;4[...

4)a)En utilisant le tableur pour la dérivée de la fonction f, on constate que pour x=0, la calculatrice affiche "ERROR". On peut donc conjecturer que f n'est pas dérivable en 0.

b) Pour cette question j'ai essayé de calculer la limite :
\(\lim_{x \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{x \to 0}\frac{f(h)}{h}=\lim_{x \to 0}\frac{h\sqrt{h(4-h)}}{h}=lim_{x \to 0}h\sqrt{h(4-h)}=0\)
Mais je pense que je devrais plutôt trouver +\(\infty\) pour pouvoir prouver que f n'est pas dérivable en 0.

5)L'argument graphique est que la tangente au point d'abscisse 4 semble verticale.

6)Pour cette question je n'ai pas eu de problème.

Exercice 2 :

1)a)sin(\(\pi\)/6)=1/2 cos(\(\pi\)/6)=\(\sqrt{3}\)/2 tan(\(\pi\)/6)=\(\sqrt{3}\)/3

b)Ici j'ai trouvé le bon résultat.

c)Quelque soit x\(\in\)R on a :
-1\(\leq\)cosx\(\leq\)1
-1+2\(\leq\)cosx +2\(\leq\)1+2
0<1\(\leq\)cosx +2\(\leq\)3
Donc pour tout réel x on a cosx +2 différent de 0.

2)a) Ici j'ai trouvé f(0)=0

b)Ici j'ai trouvé que \(f'(x)=\frac{-(cosx -1)^{2}}{(2+cosx)^{2}}\)
Ensuite j'ai dit que (2+cosx)^{2} > 0
Donc f'(x) est du signe de -(cosx -1)^{2}.

c) J'en ai déduit que f était strictement décroissante sur I.

d) On sait que f(0)=0, de plus f strictement décroissante sur I,
Donc \(f(x)\leq 0\)
\(\frac{3sinx}{2+cosx}-x\leq 0\)
\(\frac{3sinx}{2+cosx}\leq x\)

3)a)Ici j'ai trouvé g(0)=0

b)Pour cette question j'ai trouvé la bonne dérivée.

c)En bref, ici j'ai dit que g'(x)>0 (sur ma copie je justifierais) donc g(x) strictement croissante sur I.

d)Ici j'ai fait comme pour la 2)d).

4)a)D'après la 2)d) on a \(\frac{3sinx}{2+cosx}\leq x\) et d'après la 3)d) on a \(\frac{1}{3}(2sinx +tanx)\geq x\)
J'ai donc écrit \(\frac{3sinx}{2+cosx}\leq x\leq x\frac{1}{3}(2sinx +tanx)\)
Puis j'ai remplacé x par \(\pi\)/6
J'ai essayé de retrouver l'inéquation de l'énoncé mais sans grand succès...

b)Je n'ai pas compris cette question.

Exercice 3 :

1)Ici j'ai juste montré que les deux tangentes avaient la même équation.

2)a)Ici j'ai fait \(d'(x)=f'(x)-g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x)\)
J'ai retourné cette formule dans tous les sens mais je ne suis pas parvenue à retrouver 2+(x-2)\(\sqrt{x+1}\)

b)Ici j'ai calculé la dérivée et j'ai montré qu'elle était positive, j'en ai déduit que h était strictement croissante sur ]-1;+\(\infty\)[

c)Ici j'ai calculé h(0), j'ai trouvé 0, ensuite j'ai écrit que h était strictement croissante sur ]-1;+\(\infty\)[, j'en ai alors déduit que h>0.

d)On sait que h(x)>0.
Puisque d(x) a le même signe que h(x) alors d(x)>0
Soit f(x)-g(x)>0
Par suite f(x)>g(x)
Donc Cf est au dessus de Cg.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour justifier la dérivabilité de ta fonction sur \(]0\,;\,4[\), il suffit de dire que c'est une composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
\(f\) est dérivable en 0 et on a même \(f'(0)=0\) d'après ton calcul correct de la limite du taux d'accroissement en 0. Donc il faut que tu revoies ta conclusion.
Pour le reste, tes démarches sont correctes, il faut remplacer par \(\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\) et \(\tan(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
À gauche de ton membre, tu as \(\dfrac{\frac{3}{2}}{2+\frac{\sqrt{3}}{2}}\) : tu multiplies tout par 2 pour avoir : \(\frac{3}{2+\sqrt{3}}\). Il te reste à faire sauter la racine carrée en bas en multipliant par l'expression conjuguée \(2-\sqrt{3}\) : \(\frac{3(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\) : en bas tu dois reconnaitre une identité remarquable.
Pour la dernière fonction, tu as \(d'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-0,5+0,25x=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2}\times 0,5(x-2)\) : il suffit de multiplier le deuxième terme par \(\sqrt{x+1}\) pour mettre ensuite au même dénominateur, on devrait retrouver au numérateur \(1+0,5(x-2)\sqrt{x+1}\) qui est du même signe que ce qu'on te demande (il suffit de tout multiplier par 2).
Bon courage pour ce devoir qui est très difficile, mais tu m'as l'air d'avoir un bon niveau, tu pourras te corriger toute seule.

[Maya]

D'accord ! Merci beaucoup pour votre aide !

[sos-math(21)]

Bonne continuation,
Bon courage