DM rapport entre aire et fonction

[Valentin]

Bonjour,

J'ai un D.M. à rendre pour le 3 novembre dont voici ci-joint le sujet.

J'ai répondu à certaines questions dont en voici les réponses :

1. Si MN = 10 m, on peut résoudre l'équation MN \(\times\) PN = 400 ainsi:

MN \(\times\) PN = 400

10 \(\times\) PN = 400

PN = 40 m.

On peut vérifier le résultat comme ceci :

10 \(\times\) 2 = 20

20 + 40 = 60

2.a) \(x\) est compris dans l'intervalle [ 0;30 ]

b) \(y\) = 2\(x\) - 60.

Soit \(A\) l'aire de la zone de baignade. Si = 400 \(m^{2}\) alors on peut remplacer \(x\) par 10 dans ce calcul :

= ( 60\(x\) - \(2x^{2}\) )

= ( 60 \(\times\) 10 - 2 \(\times\) \(10^{2}\) )

= ( 600 - 200)

= \(400 m^{2}\).

Je n'ai pas réussi à compléter le reste car je voulais tracer la courbe représentative de l'aire de la zone de baignade par rapport à la longueur du coté sur Géogébra et j'ai besoin de m'appuyer sur cette courbe pour compléter le reste du D.M.

Dans l'attente d'une réponse et d'une correction si nécessaire, je vous souhaite une bonne journée.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Valentin,

Cela me semble très bien. Une petite erreur sur "y"... ce n'est pas 2x-60...

Pour geogebra je ne sais pas trop comment t'aider. As-tu rentrer la fonction g dans le champ de saisie en bas de l'écran ?

A bientôt !

[Valentin]

Bonjour,

Voici mes réponses des questions 4. à 6.

4.a) Il est impossible que l'aire de la zone de baignade soit égale à \(550 m^{2}\) car le sommet de la courbe est atteint lorsque \(x\) ou MN est de 15 m. Si on considère que PQ est de même longueur que MN, on peut effectuer l'équation suivante afin de connaître la longueur de PN

15 \(\times\) 2 + \(y\) = 60

30 + \(y\) = 60

\(y\) = 30

15 \(\times\) 30 = 450

b) L'aire de la zone de baignade peut être égale à \(250 m^{2}\) seulement lorsque \(x\) ou MN est de 5 ou 25 m.

c) Les dimensions de la zone de baignade d'aire maximale sont de 15 m pour MN et PQ et de 30 m pour MQ et NP en résolvant l'équation 15 \(\times\) 2 + \(y\) = 60 à partir de la valeur de \(x\) sur le graphique. Ce qui donne pour résultat \(y\) = 30 comme pour l'exercice précédent.

5. 450 - 2 \((x - 15)^{2}\)

= 450 - 2 (\(x^{2}\) - 30\(x\) + 225)

= 450 - \(2x^{2}\) + 60\(x\) - 450

= 60\(x\) - \(2x^{2}\)

(après je ne vois pas ce que ma prof veut dire par "ordonner 450 - \(2(x - 15)^{2}\)"

6. Le résultat obtenu à la question 5. est 60\(x\) - \(2x^{2}\). Ce résultat permet de justifier la réponse de la question 4.c) en remplaçant \(x\) par 15 ce qui donne :

60 \(\times\) 15 - 2 \(\times\) \(15^{2}\)

= 900 - 2 \(\times\) 225

= 900 - 450

= 450

450 représente l'aire maximale de la zone de baignade. On retrouve l'expression 60\(x\) - \(2x^{2}\) à la question 3. la définissant comme étant l'équation représentant la courbe \(g(x)\).

Dans l'attente d'une réponse et d'une correction si nécessaire, je vous souhaite une bonne journée.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes réponses sont correctes, il faut juste utiliser le vocabulaire des fonctions : images, antécédents...
Ordonner une expression que l'on développée et réduite, revient à mettre les termes dans l'ordre de leur puissances de \(x\) : les \(x^2\) en premier, les \(x\) en deuxième et les nombres seuls en troisième.
La forme \(-2(x-15)^2+450\) fait apparaître le 15 et le 450 qui correspondent au coordonnée du sommet de ta courbe. En quoi cette écriture permet-elle de conclure (sans graphique) que la fonction admet un maximum en \(x=15\) et que ce maximum vaut 450 ?
Je te laisse réfléchir...

[Valentin]

Bonjour,

Merci pour votre aide.
A propos de votre question, j'ai pensé au développement puis réduction de l'expression, mais rien ne m'aide à la conclusion que la courbe admet un maximum en \(x\) = 15 et que ce maximum vaut 450. J'ai pensé à d'autres calculs mais je ne suis pas plus avancé.

Bonne journée

[Valentin]

Bonjour,

Je viens de m'apercevoir qu'en remplaçant \(x\) par 15 dans l'expression \(- 2x^{2} + 60x\) on obtient 450 donc la quantité est maximale lorsque \(x\) = 15 ?

Bonne journée

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Valentin,

C'est normal de trouver pour x=15, g(15) =450.
En effet tu sais que g(x) = 450 - 2(x-15)² = -2x² + 60x.
De plus, comme - 2(x-15)² est toujours négatif ou nul, g est maximum lorsque - 2(x-15)²=0 soit x-15 = 0 soit x=15.

SoSMath.