Continuité de fonctions

[abdell0000]

Bonjour ,
Prière de m'aider à résoudre cet exercice :
Déterminez toutes les fonctions continues telles que f(2009)=2009^2008 ,Quels que soient x,t des réels ;f(x)+f(t)=f(x+t).

[sos-math(21)]

Bonjour,
quel est ton niveau d'études ? Cela me semble compliqué pour du pré-bac.
Tu peux commencer par prouver que ta fonction est nécessairement une fonction linéaire : en le prouvant d'abord sur les entiers, puis sur les rationnels puis sur les réels (mais c'est niveau post-bac !)
Bon courage

[abdell0000]

Merci , mon niveau est terminale sc maths ; est ce que tu peux un peu plus éclaircir ce que tu viens de dire ???!!

[sos-math(21)]

Commence par prouver par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(f(n)=nf(1)\)
puis pour tout nombre rationnel, \(f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q}f(1)\).
Puis en utilisant la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\), passe aux réels en utilisant la continuité de la fonction.
Cela me semble trop élevé, c'est plutôt du math sup.

[abdell0000]

Merci beaucoup !!!