Tangente parallèle

[Elisa]

f est défini par f(x)=x³-4x²+8x-4/(x-1) ² et y=x-2
Déterminer l'abscisse du point J de la courbe de Cf où la courbe est parallèle à D. J'ai calculé la dérivé de f qui est x^4-4x³+3x²/(x-1) ^4. Donc j'arrive à f(x)=1 mais après je suis bloquée

[SoS-Math(25)]

Bonjour Elisa,

\(~f(x)=\dfrac{x^3 -4x^2+8x-4}{(x-1)^2}\). Est-ce cela ?

Ta dérivée me semble correcte.

Tu souhaites donc résoudre f'(x)=1.

Soit :

\(~f'(x)=\dfrac{x^4 -4x^3+3x^2}{(x-1)^4}=1\).

Dans quelle mesure une fraction peut-elle être égale à 1 ?

Bon courage !

[Elisa]

Oui c'est ça
f'(x) est égale à 1 car c'est la pente de la droite, le coefficient directeur de la tangente.
J'ai essayé de développer et ça me donne x²(x²-4x+3) / (2x-2)²=1
Après je sais pas si on peut faire : x²(x²-4x+3)=4x²-8x+4
Puis je me retrouve avec x(x³-4x²-x+8)-4 =0 mais je sais pas si c'est bon et quoi faire avec ça maintenant.
Merci

[SoS-Math(31)]

Oui, Elisa, ta méthode est bonne mais il semble que l'expression de ta dérivée est fausse au dénominateur.

Tu souhaites donc résoudre f'(x)=1.

Soit :

\(~f'(x)=\dfrac{x^4 -4x^3+3x^2}{(x-1)^4}=1\).

Par contre, tu peux factoriser par x²?

[Elisa]

Je pensais que (x-1)^4 était égale à (2x-2)², ce n'est pas le cas ?
Factoriser quoi par x² ?

[SoS-Math(31)]

Non (x - 1) ^4 n'est pas égal à (2x - 2)^2.
Prends x = 2, alors (x - 1) ^4 = 1 et (2x - 2)^2 = 4.
Par contre, tu peux bien écrire au numérateur x² ( x² - 4x + 3).
Calcules le discriminant de x² - 4x + 3, tu pourras sans doute simplifier par x -1 la fraction.

[Elisa]

Ah oui d'accord je vois.
J'ai fait le discriminant et je trouve ∆=4, x1 = 1 et x2 =3 mais après qu'est ce que je vais avec ça ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Elisa,

Il y a effectivement plusieurs possibilités :

1) Les solutions de x^2 -4x + 3 sont 1 et 3 donc on peut factoriser le polynôme x^2 -4x + 3 par (....)(....).

Ensuite, cela pourra t'aider à simplifier la fraction puis à avancer.


2)

\(~f'(x)=\dfrac{x^4 -4x^3+3x^2}{(x-1)^4}=1\).

Dans quelle mesure une fraction peut-elle être égale à 1 ?

Si une fraction est égale à 1, c'est que le numérateur et le dénominateur sont....

Ensuite, serais-tu capable de développer le dénominateur ?

Bon courage !

[Elisa]

D'accord
1) x²-4x+3 =(x-3)(x-1) non ? Donc si c'est bon on peu simplifier et ça donne x²(x-3)/(x-1)³ et après on fait quoi avec ?
2) le dénominateur et le numérateur sont égaux non ? Donc ça ferait x²(x-3)=(x-1)³?? Je peux faire quoi après

[SoS-Math(25)]

D'accord
1) x²-4x+3 =(x-3)(x-1) non ? Donc si c'est bon on peu simplifier et ça donne x²(x-3)/(x-1)³ et après on fait quoi avec ?
2) le dénominateur et le numérateur sont égaux non ? Donc ça ferait x²(x-3)=(x-1)³?? Je peux faire quoi après

C'est très bien !

Ensuite, il faudrait développer les deux membres de l'égalité (une simplification sympathique apparaîtra après).

Sais-tu développer (x-1)^3 ?

Bon courage !

[Elisa]

Excusez moi mais qu'est ce qu'une simplification sympathique ??
Bah j'ai fait (x-1) ³=(x-1) ²x (x-1) et ça me donne (x²-2x+1)(x-1) mais je suis pas sûre du tout

[SoS-Math(25)]

Excusez moi mais qu'est ce qu'une simplification sympathique ??

Tu pourras l'observer plus tard.

Bah j'ai fait (x-1) ³=(x-1) ²x (x-1) et ça me donne (x²-2x+1)(x-1) mais je suis pas sûre du tout

Oui, ensuite , il faut encore développer (x²-2x+1)(x-1). Bon courage !

[Elisa]

Bon j'ai simplifié et je trouve 2 à la fin. Est ce bon ? Est ce l'abscisse du point recherché ou il faut encore faire d'autres calculs ?
En tout cas Merci pour tout

[SoS-Math(25)]

Je ne trouve pas la même solution que toi...

A bientôt !

[Elisa]

Ah bon bah après avoir développer ça donne : x³-x²-2x²+2x+x-1
Avec l'équation entière : x²(x-3)=x(x²-3x+3)-1
On divise par x : x(x-3)=(x²-3x+3)-1
x²-3x=x²-3x+2
Il reste 2
Vous trouvez quoi vous ??