DM sur les suites

[Charlène]

Bonjour, j'ai quelques soucis pour mon devoir maison.
La question est "démontrer que pour tout n, non nul, Vn ≤ Tn ≤ Un".
Avec Vn = n/(√(n^2+n))
Un = n/(√(n^2+1))

et Tn = ∑ 1/(√(n^2+i))
i=1

Quelqu'un pourrait-il me dire comment il faut faire ?
Merci d'avance

[SoS-Math(31)]

Bonjour Charlène,
Compares racine (n² + n) avec racine (n² + i) pour tout i non nul. Et racine (n² + 1) avec racine (n² + i) pour tout i non nul.

[Charlène]

Merci de votre réponse mais je ne comprend pas très bien comment je peux les comparer sachant que je ne connais ni "n" ni "i".

[SoS-Math(31)]

i est compris entre 1 et n donc 1 \(\leq i\leq\)n donc tu peux maintenant faire les comparaisons que je t'ai indiqué.
?\(\leq n² + i\leq\)?

[Charlène]

Si je comprends bien, en comparant les racines, on arrive a :

racine (n^2+1) ≤ racine (n^2+i) ≤ racine (n^2+n)

Mais comment fait-on pour passer de cette inéquation à celle demandée dans la question ? Car Un et Vn sont des fonctions inverses mais pas Tn.

[SoS-Math(31)]

Si tu inverses \(\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}}\geq\frac{1}{\sqrt{n^{2} + i}}\geq\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\) pour tout i de 1 à n alors en sommant on obtient au "milieu " Tn et sur les côté n fois les fractions précédentes donc Vn et Un.

[Charlène]

Je crois avoir compris comment résoudre cette question grâce à vous alors merci et bonne soirée.

[SoS-Math(31)]

Bonne continuation et bonne soirée Charlène.