DM de mathématique

[Laurine]

Bonjour,

J'ai actuellement un DM de mathématiques à réaliser en classe de terminale S. La consigne est la suivante; Soit (Un) la suite définie par U0=1 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = Un/(racine de (Un au carré) +1). Trouve le nombre U2016. Expliquer la démarche.

J'ai déjà commencé à travailler dessus, et je sais qu'il fallait que je trouve la suite Un, en calculant U1, U2, U3 etc... Ce qui m'a donc amené à dire que Un = racine de n+1/n+1. Je sais qu'il faut que je démontre ceci par récurrence, seulement je suis complètement bloqué au stade de l'hérédité. Si quelqu'un pouvais me donner une piste?

Merci beaucoup!

[SoS-Math(31)]

Bonjour Laurine,
Cet exercice a déjà été traité sur le forum. "Récurrence"
Il faut conjecturer u\(_{n}=\frac{1}{n+1}\) et démontrer cette relation par récurrence.

[Invité]

Bonjour Laurine,
Cet exercice a déjà été traité sur le forum. "Récurrence"
Il faut conjecturer u\(_{n}=\frac{1}{n+1}\) et démontrer cette relation par récurrence.

Je n'ai pas trouvé la réponse à cet exercice dans la section indiquée. Mais pourquoi est-ce qu'on ne peut pas démontrer Un = (racine de n+1)/n+1?

[SoS-Math(31)]

c'est une faute de frappe, il manque la racine. \(u_{n}= \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) ce qui est égale à ton expression. c'est peut-être plus facile avec mon expression car u\(_{n+1}\) = \(\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\frac{1}{n+1}+1}}\). A toi de continuer.

[Laurine]

Je suis désolée de vous embêter avec ça, mais lorsque je développe Un+1, j'obtiens 1/racinede n+1, ce qui ne démontre alors rien, car je devrais obtenir 1/racinede n+2, non?

[SoS-Math(31)]

Non, Laurine, tu ne m'embêtes pas. Nous sommes là pour t'aider.

u\(_{n+1}\) = \(\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{\frac{1}{n+1}+1}}\).

alors \(\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\frac{\sqrt{1+(n+1))}}{\sqrt{n+1}}}\) en simplifiant\(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) tu trouve le résultat recherché.

[Laurine]

Alors est-ce que ma démarche sur le fichier joint est bonne?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Laurine,

Ton calcul est juste !

SoSMath.