DM Supérieur

[Pierre]

Bonjour.

Je me permets de poster l'énoncé d'un devoir de niveau maths sup' car je ne trouve d'aide nulle part et que j'ai absolument besoin de comprendre cet exercice.

Voici l'énoncé (c'est le théorème de Cantor Bernstein) :

On considère deux ensembles E et F. On suppose qu'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E. Alors il existe une bijection de E dans F.

Voici le reste de l'énoncé ainsi que les questions qui me posent problème :
Soit f : E-->F et g : F-->E deux applications injectives. On souhaite montrer qu'il existe une bijection de E dans F.

1. On considère l'application :
A : P(E)-->P(E) à X associe CE(g(CFf(X))).
a. Montrer que est bien définie.
b. Montrer qu'il existe X0 appartenant au P(E) tel que A(X0) = X0.

On admettra ce résultat par la suite.

2. On considère l'application g' (ce n'est pas la dérivée !) définie par :
g' : CFf(X0)-->CE(X0) à x associe g(x).
a. Montrer que g' est définie.
b. Montrer que g' est bijective.

3. On considère l'application h telle que :
h : E-->F à x associe f(x) si x appartient à X0 ou g'-1(x) si x appartient à CE(X0)
a. Montrer que h est définie.
b. Montrer que h est bijective (et en déduire le théorème).

Voilà, les questions se ressemblent toutes, j'imagine qu'il y a une méthode pour prouver la définition mais là, j'ai du mal avec les complémentaires et les applications. Je ne sais pas du tout comment m'y prendre...!

Merci par avance pour votre aide !
(Et désolé si je poste ce message, j'espère que le forum est approprié pour ça...)

[SoS-Math(25)]

Bonjour Pierre,

Montrer qu'une application est bien définie peut être très compliqué mais ici, on a déjà f et g qui sont définies et le passage le passage au complémentaire ne pose pas de problème.

Donc, pour faire simple, je crois que tu peux te contenter de montrer que A est bien définie sur P(E) et qu'elle est bien à valeurs dans P(E).

Pour commencer, on peut poser \(~X\in \mathcal{P}(E)\) puis appliquer A à X pour voir si l'on retombe bien sur un élément de P(E).

Bon courage !

[Pierre]

Oui, je l'avais vu en effet mais je n'arrive pas à commencer. Si je dis que X appartient à P(E) alors je tombe forcément sur Ce(g(CFf(x))) et ça ne m'avance pas plus que ça...

[SoS-Math(25)]

A mon avis, il faut faire plus simple, c'est à dire étape par étape :

\(~X\in \mathcal{P}(E)\) donc, puisque f est bien définie, \(~f(X)\in \mathcal{P}(F)\)... et ainsi de suite dans toutes les étapes de l'application A.

Bon courage !

[Pierre]

Je fais donc X appartient à P(E) donc f(X) appartient à P(F) soit CF(f(X)) appartient à CF(P(F)).
Quel est CF(P(F)) ?

[SoS-Math(30)]

Bonjour Pierre,

Le complémentaire dans F de f(X) est l'ensemble des éléments de F qui ne s'écrivent pas f(x) où x appartient à X. Ce sont des éléments de F, cet ensemble est donc une partie de F. Donc CF(f(X)) appartient à P(F)... Heureusement, puisqu'on lui applique g ensuite qui est définie sur F...

Bon courage

SoSMath

[Pierre]

Donc j'applique ensuite g définie sur F vers E donc j'arrive en E et en passant au complémentaire, je retombe sur P(E). Est-ce juste ?

Donc j'imagine que pour la question b. j'applique la même démarche.

[Pierre]

Mais ensuite, je ne comprends pas pour la bijection. Pouvez-vous m'indiquer comment faire ?

[SoS-Math(31)]

g' est la restriction de g à CF(f(x0)) donc elle est injective car g est injective de F à E. il faut donc montrer que g est surjective de CF(f(x0) dans CE(x0) pour montrer que g' est bijective.