DM math sur Suites (terminale S)

[Nelson]

Bonjour

Je bloque un peu sur ce DM.
Enoncé:
La suite \(x_n\) est définie par \(x_0=1\) et \(x_n=x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}}\) pour tout \(n \ge 1\)

1/Montrer que : \(x_p² \ge 2+ x_{p-1}²\) pour tout \(p \ge 1\)
2/Montrer que: \(x_20 000 000 000 000 000 \ge 200 000 000\) Problème d'affichage Tex: il faut lire X indice 20 000 000 000 000 000 (2 suivi de 16 zéros) pour le 1er terme et 200 000 000 pour le 2eme

Pour le 1, j'ai calculé le carré de: \(x_{p-1}+\frac{1}{x_{p-1}}\)
et j'ai trouvé: \(2+ x_{p-1}²+\frac{1}{x_{n-1}²}\) , or \(\frac{1}{x_{n-1}²}>0\) donc cela démontre la question 1.

Mais nous étudions en ce moment le raisonnement par récurrence, et malgré plusieurs tentatives , je n'arrive pas à appliquer ce raisonnement pour démontrer cette question 1.
(ce qui aurait été peut être préférable)

De plus , je bloque complètement sur la question 2 : je me demande justement si un raisonnement par récurrence pour la question 1 ne m'aurait pas aidé pour la 2.

Si vous pouviez me donner quelques pistes ou indices pour m'aider , je vous en serai très reconnaissant! merci d'avance!

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton début est correct, la récurrence n'est pas nécessaire pour le 1.
Pour le 2, essaie de montrer par récurrence l'inégalité suivante : \(x_n\geqslant \sqrt{2n}\), tu pourras en déduire l'inégalité pour \(n=2\times 10^{16}\)
Bonne continuation

[Nelson]

merci beaucoup! J'essaie de faire cette démonstration!

[Nelson]

Aprés plusieurs essais, je ne parviens pas à bien mener cette démonstration.
J'en suis donc là:

Initialisation:
Pour n=1 , \(x_1=1+1=2\) et \(\sqrt{2\times1}=\sqrt{2}\) , donc \(x_1 \ge \sqrt{2\times1}\)

Hérédité:
Supposons que \(x_n \ge \sqrt{2n}\)
Démontrons que \(x_{n+1} \ge \sqrt{2\times(n+1)}\)

\(x_n+\frac{1}{x_n} \ge \sqrt{2n}+ \frac{1}{x_n}\)
\(x_{n+1} \ge \sqrt{2n}+ \frac{1}{x_n}\)

Puis j'ai tourné ça dans tous les sens pendant un long moment, mais je n'arrive malheureusement à rien.

Auriez-vous un petit indice pour la suite?
Merci encore infiniment pour votre aide!

[SoS-Math(30)]

Pour l'hérédité, utilise le résultat de la question 1 en l'appliquant à \(x_{n+1}\).
\(\left ( x_{n+1} \right )^{2 }\geq 2+\left ( x_{n} \right )^{2}\)
Applique l'hypothèse de récurrence...
Je te laisse poursuivre.

SoSMath

[Nelson]

Merci beaucoup !
J'essaie à fond, mais c'est fou, quelque chose doit m'échapper, je n'arrive à rien de concret (alors que je n'ai aucun problème avec la démonstration par récurrence dans les exercices faits en cours)
Par exemple, si je met au carré :\(\sqrt{2n}+ \frac{1}{x_n}\), et que je développe , je n'arrive à rien de probant..Si je tente avec des racines: idem.

SI vous aviez encore un petit indice (je suis vraiment désolé mais il me semble avoir tout essayé, rempli plusieurs feuilles de brouillon mais je n'ai jamais le résultat voulu)!

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Nelson,

Tu as montré que \(x_{n+1}^2 \ge 2 + x_n^2\).
Ton hypothèse de récurrence est \(x_n\ge \sqrt{2n}\), donc \(x_n^2 \ge 2n\), donc donc \(2 + x_n^2 \ge 2 + 2n\).
Je te laisse terminer.

SoSMath.

[Nelson]

Bonsoir

Super! Parfait!
Ce n'était pas très compliqué finalement mais je n'avais pas eu la bonne inspiration, je m’entêtais dans une mauvaise piste, ça n'était décidément pas mon jour pour cet exercice!

Merci énormément pour le temps que vous m'avez consacré, de façon aussi rapide et désintéressée! c'est très rare!
Bonne continuation!

[SoS-Math(9)]

Merci Nelson.

A bientôt,
SoSMath.