Suites

[Romain]

Bonjour est ce que vous pouvez m'aider ? Est ce que je dois le faire à la calculatrice ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu pars de \(u_{2016}=\frac{1}{\sqrt{2017}}\), alors en utilisant la relation de récurrence, tu obtiens que \(\frac{1}{\sqrt{2017}}=\frac{u_{2015}}{\sqrt{u_{2015}^2+1}}\). en élevant tout au carré, tu dois pouvoir isoler \(u_{2015}\)...
Cela te donnera une idée pour conjecturer pour l'expression de \(u_n=...\) puis démontrer cela par récurrence.
Bon courage, il y a du boulot.

[Romain]

On pose pour tout n appartenant à N Pn la proposition définie par Un+1 = un/ racine u^2n + 1 ?

[SoS-Math(31)]

Non, tu ne démontres pas la formule qui définie la suite dans l'énoncé.
Calcules les premiers termes u1, u2, u3 et conjecture l'expression de u\(_{n}\) en fonction de n.

[Romain]

U0 = 1, u1 = 0,7, u2= 0,57 et u3= 0,49 donc on peut conjecturer que la suite est décroissante ?

[SoS-Math(31)]

Donnes les valeurs exactes des termes que tu viens de calculer. Tu verras une formule apparaitre reliant u\(_{n}\) et n. La variation n'a aucun intérêt ici.

[Romain]

U1 = racine 2/2, u2= racine 2/4?

[SoS-Math(31)]

oui, pour u1, c'est bon mais laisse -le sous la forme u\(_{1}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) cela ressemble à la forme voulu pour u\(_{2016}\).
Pour u\(_{2}\), tu as fait une erreur de calcul.Refait ton calcul.

\(u_{2}= \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}\). Simplifies et trouve ainsi la forme de u en fonction de n.

[Romain]

0,35?

[SoS-Math(31)]

Valeur exacte de quel terme ?

[Romain]

J'obtiens 0,57 mais pas la valeur exacte pour u2

[SoS-Math(31)]

Si tu regardes u\(_{2016}\) donné dans l'exercice, cela ressemble à \(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
De même pour u\(_{1}\)
Vérifier cette forme pour u\(_{2}\)
Ensuite nous la démontrerons pour tout n par récurrence

[Romain]

La proposition à définir Est u2016 = 1/ racine de 2017?

[SoS-Math(31)]

u\(_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Avec les premiers termes de la suite, on conjecture u\(_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\).
As tu vu le principe de la démonstration par récurrence ?
Si oui, démontres par récurrence, la propriété conjecturée plus haut.