Récurrence

[Marion]

Bonsoir, pourriez s'il vous plaît m'expliquer le raisonnement par récurrence car je suis totalement perdue... Je sais que je dois avoir la partie initialisation puis hérédité. Je me trompe déjà à l'initialisation. Je n'arrive pas du tout à l'hérédité. Je ne sais jamais quoi mettre au départ et ce que je dois développer.. pouvez vous m'expliquer le raisonnement que je dois appliquer pour n'importe quelle suite ? Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
normalement, tu as un prof de maths et il sert à cela :)
Je t'envoie juste sur un cours en ligne : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/ar ... h1_01.html
Regarde le et fais les exercices demandés.
Si tu as toujours des problèmes, renvoie nous un message.
Bon courage

[mama]

Bonjour,

Mon professeur nous l'a pas expliqué et quand il essaie je ne comprend pas...
Par exemple avec cet exercice :

Démontrez que pour tout entier naturel n ≥ 2 , 3n² ≥ (n + 1)²

Ma rédaction :

Soit (Pn) la proposition pour n € N , 3n² ≥ (n + 1) ²

Initialisation : pour n= 2

3 x 2^2 = 12
(2+ 1 ) ^ 2 = 9
Donc : 12≥ 9
( P2) est vraie.

Hérédité : Supposons qu'il existe un entier naturel k tel que (Pk) est vraie. C'est à dire : 3k^2 ≥ (k+1)^ 2

Montrons que (Pk+1) est vraie.

3(k+1)^2 ≥ (k+1+1) ^2
3(k+1)^2 ≥v(k+2) ^2

(Pk+1) est vraie.


Je sais que mon hérédité est fausse. Mais je ne comprends pas pourquoi... Qu'aurai du je faire ?

Merci.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Mama,
Dans l'hérédité, tu as choisi un entier naturel k tel que 3k² \(\geq\)(k+1)².

Ton but est de montrer alors que 3(k+1)² \(\geq\) (k+1+1)²

Tu dois transformer 3(k+1)² pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence 3k² \(\geq\)(k+1)².

3(k+1)² = 3(k² + 2k + 1) = 3k² + 6k + 3 alors d'après l'hypothèse de récurrence 3(k + 1)² \(\geq\)(k+1)² + 6k + 3.

Or (k+1 + 1)² = (k+1)² + 2 (k+1 + 1 = (k+1)² + 2k + 3
Comme k est un entier naturel, 6k > 2k donc 3(k+1)² \(\geq (k+2)²\)

[Mama]

Bonsoir,
Je n'ai pas compris pourquoi vous avez ajouté 6k+3 à (k+1)^2

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on se base sur l'hypothèse de récurrence
tu as obtenu ar développement que \(3(k+1)^2=3k^2+6k+3\) or d'après cette hypothèse, \(3k^2\geqslant (k+1)^2\)
donc \(3(k+1)^2=\underbrace{3k^2}_{\geqslant (k+1)^2}+6k+3\) donc \(3(k+1)^2\geqslant (k+1)^2+6k+3\)
Est-ce plus clair ?

[Mama]

Oui donc en fait le signe supérieur ou égal était ici un = (si on résume?)
Merci

[sos-math(21)]

En fait l'égalité te permet de mettre en avant un des termes dont tu sais qu'il est supérieur à \((k+1)^2\).
Donc l'égalité et la relation de récurrence te permettent d'aboutir à une inégalité.

[Mama]

Je viens de le refaire à l'instant et à l'hérédité :
3 (k+1)^2 = 3 (k^2 + 2k + 1) ≥ (k + 2) ^ 2

[sos-math(21)]

Je ne comprends pas ton dernier message....

[Mama]

Mon hérédité commence par :

3 (k + 1 ) ^2 ≥ (k + 1 + 1 ) ^2

[sos-math(21)]

Mama,
Reprends le message de ma collègue :

Bonjour Mama,
Dans l'hérédité, tu as choisi un entier naturel k tel que 3k² ≥(k+1)².

Ton but est de montrer alors que 3(k+1)² ≥ (k+1+1)²

Tu dois transformer 3(k+1)² pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence 3k² ≥(k+1)².

3(k+1)² = 3(k² + 2k + 1) = 3k² + 6k + 3 alors d'après l'hypothèse de récurrence 3(k + 1)² ≥(k+1)² + 6k + 3.

Or (k+1 + 1)² = (k+1)² + 2 (k+1 + 1 = (k+1)² + 2k + 3
Comme k est un entier naturel, 6k > 2k donc 3(k+1)² ≥(k+2)²

Pars de \(3(k+1)^2=3k^2+6k+3\), majore le \(3k^2\) par \((k+1)^2\) de sorte que \(3(k+1)^2\geqslant (k+1)^2+6k+3\) puis majore encore ce dernier terme en reprenant ce que t'a dit ma collègue :
\(3(k+1)^2\geqslant (k+1)^2+6k+3\geqslant (k+1)^2+2k+3\) qui est égal à \((k+2)^2\)
Je te laisse terminer