Suites

[Chloé]

Bonjour, je dois faire un devoir et je bloque malheureusement à la question 1b et à la 2b.
Mes réponses pour la question 1a) u2=5 ; u3= 9; u4= 17.
Est ce correct ? Je trouve que la suite n'est ni géométrique ni arithmétique.
Et pour 2b) v0= 1
Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonsoir
pour la question 1a), tu as
\(u_0-1=1\),
\(u_1-1=2\),
\(u_2-1=4\),
\(u_3-1=8\),
\(u_4-1=16\) : tes termes ont l'air de doubler donc tu peux conjecturer que ta suite \(u_n-1\) est .... de raison ...
Pour la 2b, il faut partir de
\(\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+2}-u_{n+1}\\&=\underbrace{3u_{n+1}-2u_n}_{u_{n+2}}-u_{n+1}\text{ : on remplace par l'expression donnée au début de l'énoncé}\\&=2u_{n+1}-2u_n\\&=2(\ldots-\ldots)\\&=2\ldots\end{align*}\)
Bonne conclusion

[Chloé]

Bonsoir,
Pour la 1b) j'ai trouvé que un-1 = (un+1 -1 ) x 2^n
Est ce correct ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Chloé

Pour la question 1b, tu ne réponds pas à la question ... on veut \(u_n -1\) en fonction de \(n\) et non en fonction de \(u_{n+1}\).
As-tu reconnu la suite 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; .... ?

SoSMath.

[Chloe]

Bonsoir.

Je ne vois pas comment exprimer un-1 sans un+1
Sinon la suite semble géométrique de raison 2

[SoS-Math(9)]

Bonjour Chloé,

Puisque ta suite est géométrique de raison 2, alors pour tout n, on a \(u_n=...2^{...}\) (je te laisse compléter. Regarde ton cours sur les suites géométriques).

SoSMath.

[Chloé]

Bonjour donc la suite (un-1) = u0 * 2^n - 1 ?

[Chloe]

Je pense plus à : un = (u0 - 1 ) x 2^n

[SoS-Math(9)]

Attention Chloé à ne pas tout confondre ...

\(u_n-1\) est différent de \(u_{n-1}\) !

Pour une suite géométrique \((w)\) de raison 2 et de 1er terme \(w_0=1\), on a \(w_n=1\times 2^n = 2^n\)

Donc ici \(u_n-1=2^n\) et non \(u_{n-1}=2^{n-1}\).

SoSMath.

[Chloé]

Ah oui c'est vrai que je confonds souvent ...
donc un - 1 = 2^n donc un= 1 + 2 ^n
Ma réponse 3b est elle donc juste ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu as correctement démontré la 3a : \(u_{n+1}=u_n+2^n\), alors ta récurrence est correcte.
Bonne continuation

[Chloé]

Bonjour, merci j'aurai juste une dernière question. J'ai fait l'exercice 2 pouvez me dire si il est juste ?
De plus, je n'ai pas compris la question 1b de cet exercice.

Merci

[SoS-Math(31)]

Pour le signe de la dérivée, f ' , tu peux utiliser (x + 1) ² qui est un carré donc toujours positif même si x + 1 pour x positif.
Oui ,ton hérédité est bonne mais tu peux utiliser le fait que si u\(_{k}\) appartient à [1;2] alors f(u\(_{k}\)) appartient à [1;2] d'après la question précédente. Aucun calcul n'est alors nécessaire.

[Chloe]

Mais en problème c'est que je ne sais pas du déduire la 1b ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tu dois te servir de ton tableau de variation : tu vois que tes images varient entre 0 et \(\frac{5}{3}\) cela signifie que pour \(x\in[0\,;\,2], f(x)\in\left[0\,;\,\frac{5}{3}\right]\)
donc \(f(x)\in\ldots\)
Je te laisse terminer