suites numériques

[jordanna]

Bonjour j'ai pris la correction d'un exo donné par mon prof mais je ne comprend pas une chose dedant...si vous pouvez me l'expliquer s.v.p...

Considérons la suite Un (n € N) définie par { Uo = 3/2 et Un+1 = 1/10 (Un^3 +3Un^2)

Soit f : -> 1/10 (x^3 + 3x^2) définie sur [0;2]

En sachant que x € [0;2] et donc que f est strictement croissante sur cette intervalle, prouvez que f (0) <= f (Un+1) <= f (Un) <= f (2).

Pour cela il a calculé f (0) ; f (Un+1) ; f (Un) ; f (2) et il obtient :

f (0) = 0
f (Un+1) = Un + 2
f (Un) = Un + 1
f (2) = 2

Ce que je ne comprend pas c'est,: pourquoi f (Un+1) <= f (Un) --- Un+1 c'est le terme qui suit Un, son image ne devrait donc pas être PLUS GRAND que l'image de f (Un). i.e f (Un) <= f (Un+1)

La deuxième chose que je ne comprend pas c'est : comment trouver que :
f (0) = 0
f (Un+1) = Un + 2
f (Un) = Un + 1
f (2) = 2

Merci de m'aider !

[SoS-Math(31)]

Bonjour Jordanna,
première question : Attention c'est f qui est croissante mais u ne l'est pas forcement.
Si u est décroissante (sans doute montrer au paravent) u\(_{n+1 }\) \(\leq u_{n}\) alors comme f est croissante, elle conserve l'inégalité et on obtient
f(u\(_{n+1 }\)) \(\leq f(u_{n})\)

Deuxième question :

f(0) = \(\frac{1}{10}\) * (0\(^{3}\) + 3* 0 \(^{2}\)) = 0
D'après la définition de u, u\(_{n+1}\) = f(u\(_{n}\)) il suffit de décaler les rangs.

f(2) = \(\frac{1}{10}\) * (2\(^{3}\) + 3* 2\(^{2}\)) = (8+12)/10=2

[jordanna]

Oui mais si f est croissante on ne devrais pas plutôt écrire f (Un) <= f (Un+1) ?

[SoS-Math(31)]

Non,
si f est croissante et a < b cela implique f(a) < f(b) .
On dit que f conserve l'inégalité.
Donc

Si u\(_{n+1}\) ≤u\(_{n}\)
alors comme f est croissante, elle conserve l'inégalité et on obtient f(u\(_{n+1}\) ) ≤ f (u\(_{n}\))

Il faut bien comprendre que f et u peuvent avoir deux variations différentes.

Calcules l'image de 0,5; 1; 1,5 par f comme j'ai fait pour 0 et 2. Conjecture la variation de f.
Calcules \(u_{1}; u_{2};u_{3}\). Conjecture la variation de u.

Tu peux démontrer tes conjectures en étudiant le signe de la dérivée pour f et en utilisant le principe de récurrence (et le fait que f soit croissante) pour u.
Ici f est croissante et u décroissante.

[jordanna]

Ahhh ok merci bcp j'ai finalement compris.....
:-)

[SoS-Math(9)]

A bientôt Jordanna.

SoSMath.