Le raisonnement par récurrence

[jean-pierre]

Bonjour, j'ai un exo sur le raisonnement par récurrence et je bloque à la question 2 !
Si vous pouvez me donnez un p'tit coup de pouce s.v.p.

Pour la question 1 je trouve que la propriété est fausse pour n = 3 .

Pour la question 2 je fait le resonnement par récurrence :
Je fais donc l'initialisation avec n = 4 est je trouve que P4 est vraie...
Je passe ensuite à l' hérédité est je dis que je doit démontré que 2^n+1 >= (n + 1)^2
Pour démontré cela je part de l'hypothèse de récurrence et je fais : 2^n >= n^2 puis je multiplie par 2 des deux côtés, ce qui donne 2^n+1 >= 2×n^2 et c'est ici que je bloque... à gauche j'ai bien obtenu ce que je voulait à savoir 2^n+1 mais à droite j'obtient 2×n^2 à la place de (n + 1)^2 .....Que dois je faire maintenant !!

J'ai remarqué que de toute façon 2n^2 est supérieur (où égal) à (n +1)^2...On peut donc dire que 2^n+1 >= (n+1)^2 et ainsi CONCLURE que pour tout n appartenant à N\{3} Pn est vraie ! Mais a t on le droit de le faire..

Merci pour votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
le raisonnement est globalement correct et le cœur du problème se situe bien au niveau de la question : a-t-on \(2n^2\geqslant (n+1)^2\) ?
Pour démontrer cela, on forme la différence des termes : \(A_n=2n^2-(n+1)^2=2n^2-(n^2+2n+1)=n^2-2n-1\)
Il reste donc à étudier le signe de \(n^2-2n-1\). Je te conseille alors d'étudier le signe du trinôme du second degré \(x^2-2x-1\) à l'aide du discriminant...
Bonne conclusion