suites numériques

[amélie]

Bonjour j'ai un exercice sur les suites numériques mais à partir de la moitié de l'exo je bloque, si vous pouvez m'aider s'il vous plaît !

a)Uo = 9
Un+1 = 0,6 × Un + 7

b) U3 = 15,664

c) l = 17,5

d) c'est à partir de cette question que je bloque, comment démontrer que la suite Vn est géometrique ?
Je sais qu'on appelle suite géométrique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en
multipliant toujours par le même nombre.
Et elle et de la forme : Un = u0 × qn ou u(n+1) = un × q mais ici avec Vn = Un - 17,5 je ne sais vraiment pas comment démontrer que nous avons affaire à une suite géométrique !

J'attends votre aide avec impatience...
MERCI...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Amélie,

Pour montrer que (Vn) est géométrique, il faut calculer le quotient \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) et montrer que le résultat est une constante ... q.
Voici le début :
\(\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}-17,5}{v_n}=\frac{0,6 × u_n + 7-17,5}{v_n}=...\)

SoSMath.

[amélie]

Bonjour et merci pour votre aide !
Ok j'essaie de continuer le calcul...
Sinon mes réponses aux questions précédentes sont elles justes ?

Je vous remercie, ce forum m'aide beaucoup dans mes exercices 1000 mercis à vous....

[amélie]

... 0,6 × Un + 7 - 17,5 / Vn
0,6 × Un - 10,5 /Vn
0,6 × Un - 10,5 / Un - 17,5
....et je bloque ici....

[sos-math(27)]

Bonsoir,
As tu essayé de mettre 0.6 en facteur au numérateur ? Je crois qu’après une simplification est possible.
à bientôt

[amélie]

... 0,6 × Un + 7 - 17,5 / Vn

0,6 × Un - 10,5 /Vn

0,6 × Un - 10,5 / Un - 17,5

0,6 × Un - 10,5 / 0,6 × Un-1 + 7 - 17,5

0,6 × 0,6 × Un-1 + 7 - 10,5 / 0,6 × Un-1 - 10,5

0,6 × (-3,5) / -10,5

= 1/5 = 0,2

C'est juste ?

[sos-math(27)]

0,6 × Un - 10,5 / 0,6 × Un-1 + 7 - 17,5

0,6 × 0,6 × Un-1 + 7 - 10,5 / 0,6 × Un-1 - 10,5

Je ne vois pas pourquoi tu fais intervenir Un-1 au dénominateur, il faut factoriser 0.6 au numérateur :

\(0.6 \times u_n -10.5=0.6 \times [ u_n- ...]\) peux tu compléter les .... ?
Je pense que le calcul apparaitra plus simplement !
à bientôt

[amélie]

0,6 × [ Un - 17,5] / Un - 17,5
ce qui nous donne 0,6.

La suite Vn est donc une suite géométrique car pour passer d'un terme au prochain on multiplie ce premier terme par 0,6.

La raison est donc 0,6
Et pour le premier terme on prend Vo ?

[amélie]

Enfin pour la dernière question, j'ai vraiment besoin d'explications, car je ne comprends pas ce que je dois faire au juste !

[sos-math(27)]

D'après la définition de la suite Vn : \(v_0=u_0-17.5\)

Pour la suite (Vn) on peut écrire des formules, en utilisant le cours des suites géométriques. Cela permettra ensuite de calculer la suite (Un) car : \(u_n=v_n+17.5\)
On pourra donc calculer u(10)

Pour la question 2. Essaye de calculer les premier termes de la suite w, puis son terme générique \(w_n\) à écrire en utilisant juste \(w_0\) et \(n\). Cela peut permettre de résoudre ensuite l'inégalité demandée.
à bientôt

[amélie]

Pour la question d) la raison et 0,6 et le premier terme est Vo = - 8,5
C'est juste ?

Pour U10 je trouve ainsi U10 = Vo × 0,6^10 + 17,5 en sachant que Vo = - 8,5
C'est juste ?

[sos-math(27)]

Oui, cela me semble correct (je n'ai pas recompté)
à bientôt

[amélie]

Pour la question 2 comme vous me l'aviez dit j'ai calculer les premiers termes de la suite w et je trouve :
Wo = 1
W1 = 4
W2 = 7
W3 = 10

Et je trouve ainsi : Wn = Wo + n × 3

Mais je dois faire quoi à présent ?

Merci pour votre aide !!

[sos-math(27)]

Bravo, il suffira de trouver n pour que Wn >2016
Il faut utiliser l'expression que tu as trouvée !
à bientôt

[amélie]

Je touve n = 672 ?