limite

[Julie]

Bonjour
Pour la dernière question d'un exercice de maths, je dois exprimer Sn en fonction de n pour tout entier naturel n non nul, sachant que, d'après le reste de l'exercice :
Sn= Signe "somme" (avec n au-dessus et k=1 en dessous) de Vk = V1+V2+...+Vn
Vn=ln(n+1)-ln(n)
V1=ln(2)

J'ai réussi à le faire en faisant ça :
Sn=V1+V2+...+Vn
Sn=ln[(1+1/1]+ln[(2+1)/2)]+...+ln[(n+1)/n]
Sn=ln[((n+1)/n)*n]
Sn=ln[(n+1)/n]+ln(n)
Sn=ln(n+1)-ln(n)+ln(n)
Sn=ln(n+1)

ça me paraît juste. Mais dans les corrigés de cet exercice (qui est déjà tombé au bac), je vois que les gens ont utilisé le raisonnement par récurrence pour répondre à cette question, avec Sn=ln(n+1) comme hypothèse de récurrence.
Donc je me demandais s'il fallait le faire par récurrence où si le faire comme ça suffisait.
Merci d'avance

[SoS-Math(31)]

Bonjour Julie,
Pourquoi :
Sn=ln[(1+1)/1]+ln[(2+1)/2)]+...+ln[(n+1)/n] donne Sn=ln[((n+1)/n)*n] ?
Je pense que là tu a été trop vite.
La récurrence est utilisée pour gérer les "..." même si au bac on tolèrel'idée du télescopage de la somme des ln(n+1) par les ln(n). Je t'explique
le premier terme est ln(2) - ln(1) et le deuxième terme ln(3) - ln(2) donc dans Sn,ln(2) s'élimine. Le troisième terme est ln(4) - ln(3) donc dans Sn les ln(3) s'élimine. On admet alorsque Sn = - ln(1) + ln(n +1) = ln(n+1).

[Julie]

Merci pour la réponse.
Donc ce que vous avez expliqué permet de remplacer le Sn=ln[((n+1)/n)*n] que je n'ai pas expliqué ?

[sos-math(27)]

Oui, c'est le sens du message.
à bientôt