trigonométrie

[première S]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant, sur la trigonométrie :

Sur un plan (figure 1), on pose une sphère de centre A et de rayon R et on dispose autour de cette sphère, huit sphères identiques de rayon r (une ayant pour centre B) tangentes entre elles et tangentes à la grande sphère. On cherche à déterminer le rapport : r/R.

a. Démontrer que : r=PB*sin(pi/8).
b. Démontrer que : PB²=4rR.
c. En déduire la valeur du rapport cherché en fonction de sin(pi/8), et en donner une valeur approchée à 10^-2 près.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[sos-math(27)]

Bonjour 'première S',
c'est mieux d'utiliser un vrai prénom dans ce forum !
Dans cette figure, il y a beaucoup de triangles particuliers : rectangles, isocèles, des longueurs égales...

Il faut essayer de compléter la figure pour identifier ces propriétés, et ensuite écrire des propriétés trigonométriques, pour tâcher de retrouver ce qui est demandé.
à bientôt

[antoinette]

Merci pour votre réponse.

Pour la question b, j'ai trouvé la réponse en utilisant le théorème de Pythagore.

Mais que faire pour la question a, je n'arrive pas non plus à faire de figure dans le plan...

[sos-math(27)]

La figure 2 qui est donnée est déjà dans le plan. C'est elle qu'il faut tâcher d'exploiter au mieux...

Je cherche un peu de mon côté, à plus tard ...

[antoinette]

OK, je cherche aussi toujours de mon côté...

Merci de revenir vers moi quand vous avez une figure et/ou la réponse.

[sos-math(27)]

J'ai réussi à avancer un peu sur la figure, en construisant la tangente commune aux deux cercles... Cela permet d'écrire encore des égalités de trigonométrie...par contre je n'ai pas encore trouvé comment exploiter le fait qu'il y ai 8 sphéres tangentes, je crois que cela a son importance par rapport à l'angle, mais je n'ai pas encore trouvé.
Je te laisse donc rechercher encore avec cette figure.
à bientôt

[lycéen]

Désolé mais je n'arrive toujours pas à faire la question a...

Merci pour votre aide.

[lycéen]

Ni la question b d'ailleurs, et je dois rendre mon travail à 18 heures...

Pourriez-vous me donner les réponses svp ? Je pense que je les comprendrai...

Cela fait 3 semaines que je cherche et je commence à désespérer...

Voici une figure que j'ai faite en pièce jointe.

[SoS-Math(31)]

Les 8 petites sphères sont tangentes à la grande donc leurs centres sont tous sur le cercle de centre P et de rayon PB.
Soit B' le centre de la petite sphère tangente à celle de centre B. PB' = PB = R + r
1) Quelle est la nature de BPB' ?
2) Alors la hauteur issue de P est aussi une bissectrice. Soit alpha tel que BPB' = 2alpha alors 8 * 2 alpha = 2 pi.
En déduire alpha
3)Si H est le pied de la hauteur issue de P dans le triangle BPB' alors sin(pi/8) = HB / PB or HB = r d'où le résultat du a)

[SoS-Math(31)]

Nos messages se sont croisés. Mon H est par exemple ton T1, B est B1 et B' est B2.

[lycéen]

Merci beaucoup, j'ai compris ! Et comment faire pour la question b ? Il me reste 30 minutes...

[lycéen]

Merci beaucoup.

Et on peut aussi dire que P est le projeté orthogonal de B sur AH, pour démontrer que APB est un triangle rectangle ?

Et que H est le projeté orthogonal de P sur le plan ? Et que K est le projeté orthogonal de B sur le plan ?

C'est vrai tout ça ?

[SoS-Math(31)]

oui, P est le projeté orthogonal de B sur (AH), H est le projeté orthogonal de P sur le plan et K celui de B.

[lycéen]

Et faut-il démontrer ces remarques ?

[SoS-Math(31)]

Le plan est tangent aux sphères posées dessus. H (resp K) est le point d'intersection de la sphère de centre A (resp B) donc (AH) et (KB) sont orthogonaux au plan et H (resp K) est ainsi le projeté de A (resp B) sur le plan. Par définition P est le projeté orthogonal de B sur (AH). Comme P appartient à (AH) , il a pour projeté H sur le plan.