Dm sur les vecteurs

[Vincent]

Bonjour, je suis un élève de seconde et je n' arrive pas a faire un dm de maths
"ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=4
I et J sont les milieux respectifs des segments AD et AB
1.Conjecturer la position des points A,E et C
2.Nous allons montrer par deux méthodes la conjecture de la question a.
1ere méthode
A)Exprimer le vecteur AC en fonction des vecteurs AD et AB
B)Exprimer le vecteur AE en fonction des vecteurs AD et AB
C) en déduire que AC=3AE
D)Conclure


2eme méthode
On se place dans le repère (A,AD,AB)
A) justifier que DE=2/3DJ
B)En déduire les coordonnéés du point E
C)Determiner les coordonnées des vecteurs AE et AC
D)Montrer que AC=3AE
E) Conclure
Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Vincent,

Pour la méthode 1, je suppose que tu as fait la conjecture ...

A) Exprimer le vecteur AC en fonction des vecteurs AD et AB : c'est la règle du parallélogramme (regarde dans ton cours).
B) Dans le triangle ADB, que peux-tu dire du point E ? (c'est un point remarquable, donc il faut regarder les droites remarquables d'un triangle ...)

Voila pour commencer.

SoSMath.

[Vincent]

A)AC=AD+AB
B)BI et DJ sont des médianes,E est le centre de gravité du triangle JE=JD/3 et EI=IB/3
AE=AI+IB
AD/2+IB/3

[SoS-Math(9)]

Vincent,

Le début est bon.

\(\vec{AE}=\vec{AI}+\vec{IE}=\vec{AI}+\frac{1}{3}\vec{IB}\)

Exprime \(\vec{AI}\) en fonction de \(\vec{AD}\) en utilisant le milieu.
Puis \(\vec{IB}\) en fonction des vecteurs \(\vec{IA}\) et \(\vec{AB}\).

SoSMath.

[Vincent]

AE=AI+IB
=1/2AD+1/3IB
=1/2AD+(IA+AB)/3
=1/2AD +1/3AB
Je suis perdu je n'arrive pas a aller plus loin dans le raisonnement

[SoS-Math(25)]

Bonjour Vincent,

Tu y es presque, je reprends :

AE=AI+IB
=1/2AD+1/3IB
=1/2AD+(IA+AB)/3
=1/2AD +1/3AB

Il y a quelques erreurs :

AE=AI+IE
=1/2AD+1/3IB
=1/2AD+(IA+AB)/3
=1/2AD +1/3AB + 1/3IA

Maintenant, tu sais que IA c'est 1/2 de DA...

Bon courage !

[Vincent]

B)Bonjour,je pense avoir trouver
AE=AI+IE
=1/2AD+1/3IB
=1/2AD+(IA+AB)/3
=1/2AD +1/3AB + 1/3IA
=(1/2AD-IA)/3+1/3AB
=1/3AD+1/3AB

[SoS-Math(25)]

Je ne comprends pas comment tu passes de :

+ 1/3IA à - IA....

Mais tu sembles avoir compris.

On reprends :

AE=1/2AD +1/3AB + 1/3IA

Ensuite, il faut exprimer 1/3IA en fonction de AD. IA = 1/2DA donc.... ?

Bon courage !

[Vincent]

AE=AI+IE
=1/2AD+1/3IB
=1/2AD+(IA+AB)/3
=1/2AD +1/3AB + 1/3IA
=1/2AD-1/6IA(IA en fonction de AD)+1/3AB
=1/3AD+1/3AB

[SoS-Math(25)]

C'est cela mais il y a encore une erreur dans ta rédaction :

AE=AI+IE
=1/2AD+1/3IB
=1/2AD+(IA+AB)/3
=1/2AD +1/3AB + 1/3IA
=1/2AD-1/6AD(IA en fonction de AD)+1/3AB
=1/3AD+1/3AB

A bientôt !

[Vincent]

Merci de ton aide, après pour le C et le D je pense avoir les bons résultats mais je ne suis pas sur de moi .

C)AC=3AE
=3x(1/3AD)+3x(1/3AB)
=AD+AB
D)Comme AC=3AE les points A,C et E sont alignés

[SoS-Math(25)]

C'est cela mais encore une fois, attention à la rédaction du C) :

Il faut partir de 3AE =.... pour arriver à ...=AC

Bon travail et à bientôt

[Vincent]

3AE =3x(1/3AD)+3x(1/3AB)=AD+AB=AC
pour la méthode 2;
A) D(1;0) J(0;1/2)
xDJ=0-1=-1
yDJ=1/2-0=1/2
DJ(-1;1/2)

DE=2/3 x (-1);2/3 x1/2
DE=-2/3;1/3

[SoS-Math(25)]

Tout cela me semble correct.

A bientôt !

[Vincent]

Bonjour,
B)xE=-2/3+1=1/3
yE=1/3+0=1/3
E(1/3;1/3)

C)A(0;0) E(1/3;1/3)
xAE=1/3-0=1/3
YAE=1/3-0=1/3
AE(1/3;1/3)

A(0;0) C(1,1)
xAC=1-0=1
yAC=1-0=1
AC(1;1)
Je pense que ces résultats sont justes, mais je ne suis pas sur de la rédaction du D) ci-dessous
D)3AE=3x1/3;3x1/3
=1;1=AC