Démontrer droites non coplanaires, résolution système

[Guillaume]

Bonjour, dans un qcm : je dois trouver la position relative entre deux droites (strictement parallèles, confondues, non coplanaires ou sécantes)

Les droites en question sont (BC) et (D) de représentation paramétrique
{x=1+s
{y=2s
{z=3-S

Avec B(-3,4,1) et C(0,-5,-2).

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J'ai d'abord cherché une équation paramétrique de (BC), tel que :
\(\overrightarrow{BC}\)(3;-9;-3)

Soit l'équation paramétrique
{x= -3+ 3t
{y=4-9t
{z=1-3t


\(\overrightarrow{BC}\)(3;-9;-3) et \(\overrightarrow{D}\)(1;2;-1) sont des vecteurs directeurs de (BC) et (D), leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles donc (BC) et (D) ne sont pas parallèles : ils sont donc soit sécants, soit non coplanaires.

Donc je dois chercher t et s tel que :
{-3+3t=1+s
{4-9t=2s
{1-3t=3-s

C'est là où j'ai un souci
Comment résoudre ce système?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Guillaume,

Ta démarche est bonne.
Pour la résolution de ton système :
* il faut utiliser deux équations pour déterminer tes inconnues s et t (système de 2 équations à 2 inconnues)
* il faut contrôler que s et t vérifient la 3ème équation. Si c'est le cas alors il y a un point d'intersection sinon il n'y a pas d'intersection !

Rappel : pour un système de 2 équations à 2 inconnues, tu peux exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans la 1ère équation et la remplacer dans la 2ème ...

SoSMath.

[Guillaume]

Bonjour,
merci de votre réponse, j'étais parti en vacances je ne l'ai pas tout de suite vue.

En effet en simplifiant les lignes du système et en additionnant la première à la troisième, les variables s'annulent et j'obtient -2=4
J'en ai conclus que les droites n'était pas coplanaires car le système n'avait pas de solution

Bonne continuation

Guillaume

[SoS-Math(31)]

Bonsoir Guillaume,
C'est bien - 2 étant différent de 4, les droites sont non sécantes et comme elles ne sont pas parallèles, elles sont non coplanaires.
A bientôt.