Quadrilatère

[Lisa]

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire, et je n'y arrive pas, du coup j'ai besoin de vos indications. Voici mon devoir:
Soit ABCD un carré de coté 20 cm. Soient les points M, N, P, et Q sur les côtés du carré tels que AM=BN=CP=DQ= x.
1) Démontrer que MNPQ est un carré.
2) Calculer l'aire de MNPQ en fonction de x. On note A(x) cette aire.
3) Démonter que pour tout x, 2x²-40x+128 = (8-2x) (16-x).
4) Etudier le signe de (8-2x) (16-x) et en déduire les solutions du problème.

J'ai essayé de faire la première question mais je ne vois pas comment je pourrais faire.
Merci de m'aider.

[SoS-Math(30)]

Bonjour Lisa,

As tu commencé par faire une figure? Inscris dessus les longueurs indiquées dans l énoncé et les longueurs MB, NC, DP et QA. Tu dois montrer que les côtés de MNPQ sont égaux et qu ils sont perpendiculaires 2 à 2.

SoSMath

[Lisa]

La figure est déjà faite sur l'énoncé. Sur mon brouillon j'ai essayé de démontrer qu'il est un carré en me servant des angles, mais je ne sais pas si c'est juste.
Comme ABCD est un carré, cela veut donc dire que les angles QAM=QDP=PCN=NBM=90°
La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Démonstration avec le triangle QAM.
AMQ=MQA=QAM=180°
Et comme QAM=90° car c'est un angle droit alors AMQ+MQA=90°
Les triangle AMQ et DQP sont égaux
Donc DQP+MQA=90°
Et comme DQP+MQA=90° alors PQM=90°
C'est pareil pour les autres triangles car leurs angles ont la même mesure puisque ABCD est un carré et donc tous ces angles mesurent 90°
Donc PQM=PNM=QPN=NMQ=90°
Donc MNPQ est un carré.
Dites moi si c'est bien sa qu'il faut.
Merci

[SoS-Math(30)]

L idée est là. On ne dit pas que des triangles sont égaux mais tu peux dire qu ils se superposent donc que \(\widehat{AMQ}=\widehat{DQP}\).
Avec ce premier raisonnement, tu montres alors que \(\widehat{MQP}=90°\). En le réitérant 3 fois tu montres alors les trois autres angles droits de MNPQ. Alors MNPQ est un quadrilatère ayant 4 angles droits, c'est donc un ... rectangle. Que faut il rajouter pour justifier que c'est un carré?

SoSMath

[Lisa]

Je pense qu'il faut parler de ses côtés? En appliquant le théorème de Pythagore?
Si c'est ça, sa donnerait,
Dans le triangle QAM:
QM²= QA²+AM²
QM²= (20-x)²+ x²
QM= racine carré (20-x)²+x²
QM = racine carré x²-40x+400+x²
QM = racine carré 2x²-40x+400
Mais je sais pas comment il faut faire pour enlever la racine.

[SoS-Math(30)]

C'est ça Lisa. Tu n as pas à chercher à enlever la racine. Explique simplement que tu vas trouver la même expression pour les autres côtés.

SoSMath

[Lisa]

Mais comment faut que je fasse pour expliquer que je retrouverais la même chose pour les autres côtés?
Faut que je fasse le même calcul pour les autres?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lisa,

il n'est pas utile de refaire les calculs, car tu as remarqué que tu avais 4 triangles identiques.

SoSMath.

[Lisa]

Du coup pour la question 2 il suffit juste de faire:
racine carré (2x²-20x+100) × racine carré(2x²-20x+100) = racine (2x²-20x+100)² = 2x²-20x+100 ??

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Lisa,

D'où vient 2x²-20x+100 ? tu avais trouvé 2x²-40x+400 ...

SoSMath.

[Lisa]

Mince je me suis trompé en l'écrivant sur mon brouillon, du coup ça fait:
racine carré 2x²-40x+400 × racine carré 2x²-40x+400 = racine carré (2x²-40x+40)²= 2x²-40x+400
Donc l'aire de MNPQ est 2x²-40x+400 ?

[SoS-Math(30)]

C'est bien cela Lisa. Mais dans ce que tu nous as écris à la question4, il est demandé d'en déduire les solutions du problème. Hormis les questions il n'y pas de problème posé. Manque-t-il une phrase au début de l'énoncé ?

SoSMath

[Lisa]

oui c'est exact, il manque "le but de l'exercice est de déterminer les valeurs de x pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit inférieur à 272 cm²"

[sos-math(27)]

Bonjour Lisa, donc comment traduire mathméatiquement :

l'aire du quadrilatère MNPQ est inférieure à 272 cm²

Ensuite les questions suivantes vont t'aider à construire la réponse au problème.
Je reste à l'écoute..

[Lisa]

Bonjour, cela veut dire que: 2x²-40x+400 < 272 ?