suites

[Benoit]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la question 2/c. de l'exercice suivant :

On considère la suite (un) définie par u0=5 et, pour tout entier naturel n, u(n+1)=u(n)-4n+16.

1/ A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, représenter les 20 premiers termes de la suite (un). A quel type de courbe, le nuage de points fait-il penser ?
Les 20 premiers termes, cela fait donc bien jusqu'à u(19) car il y a u0 ?

2/ a. A l'aide des observations faites dans la question 1/, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quel entier naturel n, le terme (un) en fonction de n.
L'équation d'une parabole est y=ax^2+bx+c donc on doit avoir pour tout entier naturel n, u(n)=a*n^2+bn+c. C'est correct comme raisonnement ? Après je sais faire. Ce que j'ai trouvé : u(n)=-2*n^2+18n+5.

b. Vérifier la formule conjecturée pour les 20 premiers termes.
OK.

c. Vérifier que si la formule conjecturée est vraie à un certain rang fixé n, alors elle est encore vraie au rang suivant n+1.
Il faut faire un raisonnement par récurrence, mais je ne sais pas comment initialiser la propriété : faut-il calculer u0 avec la formule conjecturée et montrer que cela fait bien 5, ou bien calculer u(0+1)=u(1)=-2*(1)²+18*1+5.=21, ce qui est cohérent avec le tableur.

Quelle est l'hypothèse de récurrence ?

Et après l'initialisation, que faire ?

Quelle est la phrase correcte de conclusion ?


Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Benoit, tu trouveras en bleu mes réponses à tes questions

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la question 2/c. de l'exercice suivant :

On considère la suite (un) définie par u0=5 et, pour tout entier naturel n, u(n+1)=u(n)-4n+16.

1/ A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, représenter les 20 premiers termes de la suite (un). A quel type de courbe, le nuage de points fait-il penser ?
Les 20 premiers termes, cela fait donc bien jusqu'à u(19) car il y a u0 ?oui

2/ a. A l'aide des observations faites dans la question 1/, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quel entier naturel n, le terme (un) en fonction de n.
L'équation d'une parabole est y=ax^2+bx+c donc on doit avoir pour tout entier naturel n, u(n)=a*n^2+bn+c. C'est correct comme raisonnement ? Après je sais faire. Ce que j'ai trouvé : u(n)=-2*n^2+18n+5.D'où vient ta valeur de b?

b. Vérifier la formule conjecturée pour les 20 premiers termes.
OK.ce n'est pas possible car le coefficient b est faux

c. Vérifier que si la formule conjecturée est vraie à un certain rang fixé n, alors elle est encore vraie au rang suivant n+1.
Il faut faire un raisonnement par récurrence, mais je ne sais pas comment initialiser la propriété : faut-il calculer u0 avec la formule conjecturée et montrer que cela fait bien 5, ou bien calculer u(0+1)=u(1)=-2*(1)²+18*1+5.=21, ce qui est cohérent avec le tableur.

Quelle est l'hypothèse de récurrence ? ce sera l'expression quand tu l'auras rectifiée u(n) = - 2 n² + b n + 5.
Pour l'initialisation, il faut remplacer n par o donc - 2 * 0² + b * 0 + 5 = 5 = u(0), la propriété est vraie au rang n = 0

Et après l'initialisation, que faire ?Il faut prendre un entier k telle que l'égalité est vraie c_à_d u(k) = - 2 k² + b * k + 5 et montrer que la propriété est vraie au rang k + 1. On doit montrer que u(k + 1) = - 2 (k+1)² + b(k+1) + 5

l'étape : si la propriété est vraie au rankg k alors elle est vraie au rang k + 1 est souvent appelé hérédité ou transmission
Quelle est la phrase correcte de conclusion ? Si l'égalité est vraie au premier rang et si elle est héréditaire alors elle est vraie pour tout entier n


Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la question 2/c. de l'exercice suivant :

On considère la suite (un) définie par u0=5 et, pour tout entier naturel n, u(n+1)=u(n)-4n+16.

1/ A l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, représenter les 20 premiers termes de la suite (un). A quel type de courbe, le nuage de points fait-il penser ?
Les 20 premiers termes, cela fait donc bien jusqu'à u(19) car il y a u0 ?oui

2/ a. A l'aide des observations faites dans la question 1/, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quel entier naturel n, le terme (un) en fonction de n.
L'équation d'une parabole est y=ax^2+bx+c donc on doit avoir pour tout entier naturel n, u(n)=a*n^2+bn+c. C'est correct comme raisonnement ? Après je sais faire. Ce que j'ai trouvé : u(n)=-2*n^2+18n+5.D'où vient ta valeur de b?

b. Vérifier la formule conjecturée pour les 20 premiers termes.
OK.ce n'est pas possible car le coefficient b est faux

c. Vérifier que si la formule conjecturée est vraie à un certain rang fixé n, alors elle est encore vraie au rang suivant n+1.
Il faut faire un raisonnement par récurrence, mais je ne sais pas comment initialiser la propriété : faut-il calculer u0 avec la formule conjecturée et montrer que cela fait bien 5, ou bien calculer u(0+1)=u(1)=-2*(1)²+18*1+5.=21, ce qui est cohérent avec le tableur.

Quelle est l'hypothèse de récurrence ? ce sera l'expression quand tu l'auras rectifiée u(n) = - 2 n² + b n + 5.
Pour l'initialisation, il faut remplacer n par o donc - 2 * 0² + b * 0 + 5 = 5 = u(0), la propriété est vraie au rang n = 0

Et après l'initialisation, que faire ?Il faut prendre un entier k telle que l'égalité est vraie c_à_d u(k) = - 2 k² + b * k + 5 et montrer que la propriété est vraie au rang k + 1. On doit montrer que u(k + 1) = - 2 (k+1)² + b(k+1) + 5

l'étape : si la propriété est vraie au rankg k alors elle est vraie au rang k + 1 est souvent appelé hérédité ou transmission
Quelle est la phrase correcte de conclusion ? Si l'égalité est vraie au premier rang et si elle est héréditaire alors elle est vraie pour tout entier n


Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[Benoit]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

J'ai refait mes calculs et j'ai résolu un système et je retrouve bien que b=18. Pourriez-vous revérifier s'il vous plait ?

Plusieurs questions après votre réponse :

- Dans l'initialisation, on ne calcule pas : u(0+1)=u(1)=-2*(1)²+18*1+5=21 ? Pourquoi, car c'est ce qu'on veut démontrer, non ? En fait, faut-il "tester" l'expression conjecturée précédemment ou tester l'expression conjecturée précédemment au rang n+1 ? On teste l'hypothèse de récurrence en soi ?

- Puis pour l'hérédité, on part de l'expression donnée par l'exercice : u(n+1)=u(n)-4n+16 et on remplace u(n) par l'hypothèse de récurrence, ce qui donne u(n+1)=-2*n²+14n+21.
Et après, que dire ? On développe (séparément ?) ????? (qu'écrit-on devant ?) : -2(n+1)²+18(n+1)+5 et on montre que cela donne -2*n²+14n+21. Et après comment montrer que c'est bien u(n+1) ?

Merci beaucoup pour votre aide.

[SoS-Math(31)]

Oui, effectivement b = 18.
On doit donc montrer que u(n) = - 2 n² + 18 n + 5 (*)
Dans l'initialisation on doit vérifier la propriété (*) au premier rang donc pour n = 0 : On remplace n par 0 dans (*) et non dans la formule de départ.
Ensuite, c'est bien tu trouves u(n+1) = - 2n² + 14n + 21. Maintenant, développes - 2(n+1)² + 18(n+1) + 5. Tu dois retrouver - 2n² + 14n + 21.
Bonne continuation.

[Benoit]

Merci pour cette réponse.

Et est-ce que j'écris u(0+1)=u(1)=-2*(1)²+18*1+5=21 dans l'initialisation ? Je ne comprends pas pourquoi je ne dois pas le faire...

Une fois que l'on a développé et que l'on a bien retrouvé - 2n² + 14n + 21, que doit-on dire ?

Passons-nous à la conclusion ? Comment répondre correctement à la question de départ dans la conclusion, qui est "Vérifier que si la formule conjecturée est vraie à un certain rang fixé n, alors elle est encore vraie au rang suivant n+1.".

Merci pour votre aide.

[SoS-Math(31)]

Merci pour cette réponse.

Et est-ce que j'écris u(0+1)=u(1)=-2*(1)²+18*1+5=21 dans l'initialisation ? Je ne comprends pas pourquoi je ne dois pas le faire...si tu écris cela , tu vérifies la propriété (*) pour n = 1 qui est le deuxième terme, mais il faut que la propriété (*) soit aussi vraie au rang n = 0 donc on initialise à n= 0 en calculant u(0) et non u(1)

Une fois que l'on a développé et que l'on a bien retrouvé - 2n² + 14n + 21, que doit-on dire ? Puisque les deux formes développées sont les mêmes les expressions sont égales. u(n+1) = - 2(n+1)² + 18(n+1) + 5. Ainsi la propriété est héréditaire c-à-d si la formule conjecturée est vraie à un certain rang fixé n, alors elle est encore vraie au rang suivant n+1-

Passons-nous à la conclusion ? Comment répondre correctement à la question de départ dans la conclusion, qui est "Vérifier que si la formule conjecturée est vraie à un certain rang fixé n, alors elle est encore vraie au rang suivant n+1.".J'ai déjà conclue dans la réponse précédente

Merci pour votre aide.

[Benoit]

Merci. Et pour l'introduction, je mets plutôt que l'on veut démontrer que u(n+1)=-2*(n+1)²+18(n+1)+5 ?

Bonne soirée.

[SoS-Math(31)]

oui, pour l'introduction de la question 2c) tu mets que : "Pour le n fixé où la formule conjecturée est vraie,

on veut démontrer que u(n+1)=-2*(n+1)²+18(n+1)+5 ?

.
Bonne continuation.