Limite

[Margaux]

Bonjour,
J'ai un dm à rendre, concernant la suite définie par U0=1 et Un+1 = racine(7Un)
J'ai démontré dans les questions précédentes, que :
0<Un<7 (c'est Un plus petit ou égal à 7)
La suite est croissante et qu'elle converge.

On me demande de determiner la valeur de la limite de Un.

Je ne sais pas comment traiter cette question sachant que, puisque la suite est majorée par 7, sa limite est 7.
Auriez-Vous des pistes à me conseiller ?

Merci par avance,
Margaux

[sos-math(27)]

Bonjour Margaux,
Pour les suites, effectivement si la suite est croissante et majorée, elle sera convergente.
Grâce à un tableur, tu peux trouver sa limite.
Pour démontrer cette limite, il faudra sans doute utiliser un résultat du cours, quels résultats as tu étudié pour le moment ?

[Margaux]

J'ai fini le chapitre sur les limites de suite il y a déjà quelques mois.

J'ai pensé à dire que puisque la suite est majorée et converge vers une limite L=7, alors la limite =7 mais je me demande si ce n'est pas trop simpliste...

[sos-math(27)]

techniquement, il faut montrer que 7 est le plus petit des majorants, c'est à dire que la suite ne sera jamais plus grande que 7.

En réalité, ici avec une suite définie par récurrence, la limite est toujours un point fixe de la fonction f telle que u_(n+1)=f(u_n) [ici f(x)=sqrt(7x) ] La limite sera la solution de f(x)=x.
Mais je ne sais pas si ce résultat est au niveau de terminale S...

à bientôt