dm

[Sarah]

Bonjour j'ai un dm de spé je dois résoudre quand c'est possible l'équation proposée, pour la 1 j'ai trouvé que ce n'était pas possible car quand on multiplie 13 par un nombre pair on a un multiple de 26 qui congru à 0 modulo 26 mais je ne sais pas quoi dire pour quand on multiplie par un nombre impair à part qu'on obtient pas un multiple de 26 pouvez vous m'aider a justifier ?? la 2)j'ai réussi mais pour la 3 et la 4 je ne trouve pas a quoi correspond le u dans: 8u congru a 1 modulo 26 pouvez vous m'expliquer svp ??

[sos-math(28)]

Bonsoir Sarah
Pour la 1°: On ne peut pas trouver de solution car il est impossible de trouver y tel que \(13x-8=26y\) car cette équation équivaut à \(13x-26y=8\) or pgcd(13,26)=13 et 13 ne divise pas 8.
Pour toutes les questions tu peux toujours te ramener à la résolution d'une équation du type \(ax-by=c\) et tu dois avoir appris à résoudre une telle équation d'inconnue (x;y)

[sarah]

Bonsoir oui j'ai appris à la résoudre mais le prof nous demande de passer par la congruence et ça doit être congru a 1 modulo 26 mais pour 8 je ne trouve pas

[SoS-Math(25)]

Bonjour Sarah,

Je ne comprends pas très bien où tu en es. Sur quelle équation bloques-tu ?
De plus, je ne vois pas le 8u dans ton image.

A bientôt

[sarah]

Je bloque aux deux dernières j'ai fait ça mais je ne sais pas si c'est possible

[SoS-Math(30)]

Bonjour Sarah,

Pour \(8x\equiv 11[26]\), c'est effectivement impossible. Pour le justifier il suffit de traduire la congruence par l'égalité \(8x=11+26y\) pour y entier relatif, ce qui équivaut à \(8x-26y=11\) ce qui équivaut encore à \(2 \times (4x-13y)=11\). On utilise alors ton premier argument : à gauche on a un nombre pair et à droite un nombre impair, ce qui rend impossible l'égalité.

Pour \(8x\equiv 16[26]\), attention de ce que je lis, j'ai l'impression que tu divises dans la congruence. Or a division n'est pas compatible avec la congruence, tu as dû le voir en cours. Ton professeur a sûrement dû te donner des exemples. Encore une fois, traduis la congruence avec l'égalité \(8x=16+26y\) pour y entier relatif. Avec l'égalité, là tu peux appliquer les règles de calcul d'une équation. Ici tu peux par exemple diviser par 2, cela te ramènera à deux nombres premiers entre eux.

Bon courage,

SoSMath

[Sarah]

J'ai fait ça mais je ne vois pas a quoi aboutir avec ça

[SoS-Math(30)]

Oui Sarah. Maintenant, que dis tu du pgcd de 4 et 13 ? En fonction, le théorème de Bezout te permettra de poursuivre.

SoSMath

[sarah]

Le pgcd est 1 mais je ne sais pas quoi faire avec

[SoS-Math(9)]

Sarah,

Ton équation \(8x≡16[26]\) deviens donc \(4x≡8[13]\)
Et comme le PGCD de 4 et 13 est 1, tu peux résoudre cette équation ... (même méthode que le 2).

SoSMath.

[Sarah]

J'ai trouvé que x congru à 2 modulo 13

[SoS-Math(9)]

C'est bien Sarah.

SoSMath.

[Sarah]

D'accord merci beaucoup de votre aide