spé

[myriam]

Bonsoir j'ai un dm de maths qui regroupe 3 exos avec tous le même but mais comme je n'ai pas la méthode je n'arrive a en faire aucun: Pour le 19 j'ai fait le pgcd mais je ne sais pas comment trouver les couples, pour les 27 et 28 j'ai déterminer tous les pgcd mais j'ai toujours ce problème de méthode est ce que vous pouvez m'expliquer la démarche à suivre svp ???

[sos-math(28)]

Bonsoir Myriam
Pour retrouver un couple (u ; v) tel que \(a \,u + b\, v = d\) lorsque \(d\) est le pgcd de \(a\) et \(b\)
Il faut faire l'algorithme d'Euclide mais à chaque étape de l'algorithme, il faut exprimer chaque reste obtenu en fonction de \(a\) et \(b\), et comme le dernier reste de l'algorithme est \(d\) on trouve alors deux nombres \(u\) et \(v\) qui conviennent.
Mais tu as du faire cela en classe, alors regarde bien dans tes cahiers.
Bon courage

[myriam]

Merci mais le problème c'est qu'on a pas vu ça en classe on a juste fait les pgcd car on vient de terminer les matrices et le prof nous donne le cours à la fin du chapitre du coup j'ai cherché l'algorithme d'euclide sur internet mais je ne comprends pas son fonctionnement comment trouver le u et le v en fait

[SoS-Math(25)]

Bonjour Myriam,

Je vais t'aider pour le premier. Avec les divisions Euclidienne on a :

135=29x4 + 19 (L1)
29=19x1 + 10 (L2)
19=10x1 + 9 (L3)
10=9x1 + 1 (L4)

Ensuite on remonte :

1 = 10 - 9x1 (D'après L4)

On voit dans L3 que : 9 = 19-10x1 donc je remplace 9 par 19-10x1

1 = 10 - (19-10x1)x1

On voit dans L2 que 10 = 29-19x1 donc :

1 = 29-19x1 - (19 -(29-19x1)x1)x1

On voit dans L1 que 19 = .....

Ainsi, on écrit 1 avec des 29 et des 135.

Bon courage !

[myriam]

Merci j'ai bien compris grace a vous! J'obtiens 1=29-(135-29x4)-((135-29x4)-(29-19x1)x1)x1 mais du coup dans l'expression de départ 135x+29y=1 je dois remplacer le u et v par quoi au final ??

[SoS-Math(25)]

Je n'ai pas vérifié ton expression mais elle semble correcte.

Cependant, il reste un 19 que tu n'as pas remplacé....

Ensuite, il suffit de réduire l'expression en comptant le nombre de 29 et de 135 :

1 = ...x29 + ....x135 Cela te donnera donc u et v.

Bon courage

[myriam]

D'accord j'ai bien compris et réussi merci! J'ai juste une question pour l'exo 27 comment sait on si le couple est unique ou pas ??

[SoS-Math(30)]

Bonjour Myriam,

A partir des valeurs de u et v que tu as trouvées, tu peux essayer de trouver un autre couple solution. Si c'est bien le cas, cela montrera qu'il n'y a pas unicité.

SoSMath

[myriam]

Bonjour comment ça à partir de ce que j'ai trouvé?

[SoS-Math(30)]

Qu'as tu trouvé à la place des pointillés dans l'égalité 1 = .... x 29 + .... x 135 ?
u et v représentent les nombres à la place de ces pointillés.

SoSMath

[myriam]

C'est pour l'exercice 27 j'ai trouvé 89x5+37x(-12)=1 mais je ne vois pas comment à partir de ces résultats je peux en trouver d'autres

[SoS-Math(30)]

Autant pour moi pour les valeurs de l'ex 27 et non du 28.
OK pour ton égalité. A partir de là, je te propose l'égalité suivante : \(89\times (5+37) + 37 \times (-12-89)=1\).
Est-ce vrai et cela te donne t il un autre couple (u,v) ? Et cela te donne t il une idée pour obtenir encore d'autres couples (u,v) ?

SoSMath

[Myriam]

Ah d'accord donc on peut dire qu'il y a une infinité de couple ??

[sos-math(27)]

oui, dans certains cas, on va en obtenir une infinité.
à bientôt

[myriam]

D'accord merci beaucoup