Suites et limites

[Clara]

Bonjour,

J'ai cet exercice à faire et j'ai du mal avec certaines questions :
"On considère la suite Vn définie sur N par :
V0 = 2 et pour tout entier naturel n :
Vn+1 = 1.4 Vn - 0.05 V²n

1/ Soit F la fonction définie sur R par f(x) = 1.4 x - 0.05 x²

a) étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;8]
J'ai montré que f était dérivable sur R car c'est une somme de deux fonctions dérivables sur R.
Ensuite, j'ai trouvé la dérivé : f'(x)=1,4-0,1x. Puis j'ai mis que :
La racine est 14 donc f'>0 pour x<14 et f'<0 pour x>14.
Ici, x est compris entre 0 et 8 or 14>8. On a donc le tableau mis en pièce jointe.
Donc f est strictement croissante sur [0;8].
C'est juste ?

b) représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé (O;i,j) ainsi que les 10 premiers termes de la suite (Vn).
ça c'est fait.

c) conjecturer son comportement.
Là je ne sais pas trop ce qu'il faut donner. Les limites ? Le sens de variation ? Autre chose ?

2/ Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel, n : 2<ou= Vn <ou= Vn+1 < 8

J'ai fait :
Initialisation :
V0=2
V1=2,6
Donc 2<ou= V0 <ou= V1 <= 8
La propriété est vraie au rang 0

Hérédité :
Là, pour prouver que la propriété est vraie au rang p+1 (2<ou= Vp+1 <ou= Vp+2 <= 8), j'ai fait :
On a vu que f>0 sur [-inf;14] et f<0 sur [14;+inf[
Donc f est strictement croissante sur ]-inf;14] et strictement décroissante sur [14;+inf[
En particulier, f est strictement croissante sur [2;8]

Vn+1=1,4Vn-0,05Vn² et f(x)=1,4x-0,05x².
Donc Vn+1=f(Vn)

f(2)<ou= f(Vp)<ou=f (Vp+1)<ou= f(8)
2,6<ou= Vp+1<ou= Vp+2<8<8
2<ou= Vp<ou= Vp+1<ou= 8 (Hypothèse de récurrence).
On applique f sachant que f est croissante sur [2;8] donc les antécédents et les images sont rangées dans le même ordre.
La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc vraie pour tout entier n.

C'est juste ?

3) En déduire que la suite Un admet une limite finie
Pour tout entier naturel n, 2<ou= Vn<ou= Vn+1<ou= 8
Pour tout entier naturel n, Vn<ou= Vn+1 donc (Vn) est croissante.
Pour tout entier naturel n, Vn<ou= 8 donc (Vn) est majorée.
(Vn) est croissante et majorée donc elle converge vers un réel. Par conséquent, (Vn) admet une limite finie.
Je ne sais pas si c'est juste.


4) Soit x un réel. Montrer que : f(x) - 8 = - 0.05 (x-20)(x-8)
a) Pour tout entier naturel n : 8 - Vn+1 <ou= 0.9 (8- Vn)
Là je ne sais pas trop quoi faire.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n : 8 - Vn <ou= 6 * 0.9 ^n
Là non plus.

c) conclure
Ici je dois répondre à "Montrer que : f(x) - 8 = - 0.05 (x-20)(x-8)" ou je dois faire ça avant de commencer la question 4)a) ?

Merci d'avance !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clara,

Tout ce que tu as fait semble juste.
Revenons aux questions qui te posent problème :
1c) Pour le comportement, il faut regarder les variations et la limite éventuelle.

4a) f(x) - 8 = - 0.05 (x-20)(x-8) en multipliant par -1, on obtient 8 - f(x) = - 0.05 (x-20)(8-x).
On prend x=Vn, d'où : 8 - f(Vn) = - 0.05 (Vn-20)(8-Vn) soit 8 - V(n+1) = - 0.05 (Vn-20)(8-Vn)
Sachant que 2 =< Vn =< 8, il te reste à montrer que - 0.05 (Vn-20) =< 0,9.

4b) Tu peux le faire par récurrence ...

SoSMath.

[Clara]

Merci pour votre aide !

1)c) Il semblerait que lim f=-inf quand x tend vers +inf et que f soit strictement croissate sur]-inf;14] et strictement décroissante sur [14;+inf[.
C'est tout ce qu'il faut mettre ?

4)a) Je continue d'être bloquée. J'obtient le bon résultat en partant de 8-Vn+1=0.05(20-Vn)(8-Vn) et en majorant le 20-Vn par 18 pour trouver 8-Vn+1 <= 0,9*(8-Vn)
mais je ne comprends pas comment on passe de 8 - V(n+1) = - 0.05 (Vn-20)(8-Vn) à 8-Vn+1=0.05(20-Vn)(8-Vn).

4)b) J'ai trouvé que la propriété 8-Vn=<6*0,9^n était vraie au rang 0 mais je bloque sur l'hérédité. J'ai mis :
On suppose que la propriété est vraie au rang p, c'est-à-dire que 8-Vp=<6*0,9^p et on veut prouver qu'elle est vraie au rang p+1, c'est-à-dire que 8-Vp+1=<6*0,9^p+1.

f est strictement croissante sur [2;8].

f(8)=8 ; f(Vp)=Vp+1 ; f(6)=6 ; f(0,9^p)=1,26^(p+1)-0,045^(1+2p)
f(8)-f(Vp)=<f(6)*f(0,9^p)
8-Vp+1=<6*1,26^(p+1)-0,045^(1+2p)
Et là, je suis bloquée...

[SoS-Math(9)]

Clara
Pour le 1c, les conjectures portent sur la suite et non la fonction !

Pour le 4a, je t'ai expliqué comment faire : on multiplie par -1 ...
-1×(X-8) = -X + 8 = 8 - X .

Pour le 4b, il faut utiliser le 4a : 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn)
et ton hypothèse de récurrence : 8-Vn =< 6×0,9^n.

SoSMath.

[Clara]

1)c) Si je met "Il semblerait que lim Vn=-inf quand n tend vers +inf et que Vn soit strictement croissante sur [2;8]", c'est bon ?

4)a) J'ai réussi à montrer que -0,05(Vn-20)=<0,9 en faisant ça :
f(x)-8=-0,05*(x-20)*(x-8)
8-f(x)=-0,05*(x-20)*(8-x)
On prend x=Vn, d'où :
8-f(Vn)=-0,05*(Vn-20)*(8-Vn)
Comme 2=<Vn=<8, alors :
-18=<Vn-20=<-12
0,9=>-0,05*(Vn-20)=>0,6
Donc -0,05(Vn-20)=<0,9
Après j'ai mis :
-0,05(Vn-20)*(8-Vn)=<0,9*(8-Vn)
8-Vn+1=<0,9*(8-Vn)

4)b) Désolée mais je ne comprends pas comment utiliser 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn) dans la récurrence...

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Clara,

Pour la 1c, dire qu'une suite est croissante sur [2;8] n'a pas se sens.

Pour la 4a cela me semble correct.

Pour la 4b, commence par l'initialisation puis injecte dans l'inégalité précédente l'hypothèse de récurrence:

8-Vn+1 =< 0.9*(8-Vn)

Or, par hypothèse, 8-Vn =<.....

Bon courage !

[Clara]

1)c) On a V0<V1<V2<...<Vn
Il semble donc que (Vn) soit croissante.
Il semblerait aussi que limVn=+inf quand n tend vers +inf.
Il faut rajouter autre chose ? Dire si elle est monotone, ect ?
4)b) Initialisation :
V0=2
8-V0=<6*0,9^0
6=<6
8-V0=<6*0,9^0, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie au rang p, c'est-à-dire que 8-Vp=<6*0,9^p et on veut prouver qu'elle est vraie au rang p+1, c'est-à-dire que 8-Vp+1=<6*0,9^p+1.
Donc je dois partir de 8-Vp+1=<6*0,9^p+1 et trouver 8-Vp+1=<0,9*(8-Vn) ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clara,

Ok pour le 1c. (Remarque : monotone veut dire croissant ou décroissant.)

4b :
ton hypothèse de récurrence est : 8-Vn =< 6×0,9^n.
on multiplie par 0,9 : 0,9(8-Vn) =< 6x0,9×0,9^n = 6×0,9^(n+1).
utilise alors le 4a : 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn) ...

SoSMath.

[Clara]

4b/ Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie au rang p, c'est-à-dire que 8-Vp=<6*0,9^p et on veut prouver qu'elle est vraie au rang p+1, c'est-à-dire que 8-Vp+1=<6*0,9^p+1.
Vous m'avez aidée à faire ça :
8-Vp=<6*0,9^p
0,9(8-Vp)=<6*0,9*0,9^p
0,9(8-Vp)=<6*0,9^p+1
Après j'ai fait ça :
8-Vp+1=<0,9(8-Vp)
8-Vp=<0,9(8-Vp-1)
8-Vp=<0,9*0,9*(8-Vp-2)
8-Vp=<0,9²*(8-Vp-2)
8-Vp=<0,9²*0,9*(8-Vp-3)
8-Vp=<0,9^3*(8-Vp-3)
8-Vp=<0,9^p*(8-Vp-p)
8-Vp=<0,9^p*(8-V0)
8-Vp=<0,9^p*(8-2)
8-Vp=<0,9^p*6
8-Vp=<6*0,9^p
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc vraie pour tout entier n. Pour tout entier naturel n, on a 8-Vn=<6*0,9^n
ça a l'air bon mais je ne comprends pas le rapport avec ce que vous m'avez donné... Je ne vois pas comment utiliser 0,9(8-Vp)=<6*0,9^p+1. A moins que ça soit parce que :
8-Vp=<6*0,9^p est aussi égal à 0,9(8-Vp)=<6*0,9^p+1 en le multipliant par 0,9 ?

[SoS-Math(9)]

Clara,

je ne comprends pas ce que tu fais ....

Par hypothèse de récurrence : 8-Vn =< 6×0,9^n.
on multiplie par 0,9 : 0,9(8-Vn) =< 6x0,9×0,9^n = 6×0,9^(n+1).
Or d'après le 4a : 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn), donc 8 - Vn+1 =< 0,9 (8-Vn) =< 6x0,9×0,9^n = 6×0,9^(n+1), d'où : 8 - Vn+1 =< 6×0,9^(n+1).

SoSMath.

[Clara]

Ah d'accord ! Merci.
Donc après j'ai juste à dire que la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc que pour tout entier naturel n, 8-Vn=<6*0.9^(n+1) ?

[SoS-Math(9)]

Oui Clara.

SoSMath.

[Clara]

Merci pour votre aide

[Clara]

Etant donné qu'au début de la 4, avant de donner la consigne de la 4)a), ils mettaient "Montrer que : f(x) - 8 = - 0.05 (x-20)(x-8)", c'est à ça qu'il faut démontrer dans la "4c : Conclure" ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clara,

Il faut répondre en concluant sur la limite de la suite Vn.

SoSMath.