Bonjour !
Voila je bloque sur mon dm! on me demande dans un exo de calculer le module et l'argument de 1−e^(iθ) et honnetement même si j'ai une piste pour le module j'en suis pas sûr du tout ! si quelqu'un pourrait m'aider !
Merci de votre aide !
complexes et trigo
-
Thibault
-
sos-math(20)
- Messages : 2461
- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: complexes et trigo
Bonjour Thibault,
Quelle piste avez-vous trouvée pour calculer le module ?
SOSmath
Quelle piste avez-vous trouvée pour calculer le module ?
SOSmath
-
Thibault
Re: complexes et trigo
Bonjour,
j'ai transformé ma forme de départ pour obtenir (1-cos(theta)) + (-isin(theta))
et j'obtiens avec la formule du module sqrt(2-2cos(theta))
Merci !
j'ai transformé ma forme de départ pour obtenir (1-cos(theta)) + (-isin(theta))
et j'obtiens avec la formule du module sqrt(2-2cos(theta))
Merci !
-
sos-math(20)
- Messages : 2461
- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: complexes et trigo
Re-Bonsoir Thibault,
C'est très bien, même si cette expression du module peut être simplifiée en utilisant les formules de trigonométrie : tu verras cela avec ton professeur.
Pour trouver un argument de z, il va falloir commencer par écrire z sous une autre forme : \(1-e^{i \Theta}=e^{i \frac{\Theta }{2}}(... - ...)\). Commence par compléter cette factorisation et ensuite simplifie l'écriture de l'intérieur des parenthèses.
Avec cette nouvelle écriture de z il sera plus simple de trouver un argument.
Bon courage
SOSmath
C'est très bien, même si cette expression du module peut être simplifiée en utilisant les formules de trigonométrie : tu verras cela avec ton professeur.
Pour trouver un argument de z, il va falloir commencer par écrire z sous une autre forme : \(1-e^{i \Theta}=e^{i \frac{\Theta }{2}}(... - ...)\). Commence par compléter cette factorisation et ensuite simplifie l'écriture de l'intérieur des parenthèses.
Avec cette nouvelle écriture de z il sera plus simple de trouver un argument.
Bon courage
SOSmath
-
Thibault
Re: complexes et trigo
Ré-bonsoir
J'obtiens cette expression mais je n'arrive pas à la simplifier !
J'obtiens cette expression mais je n'arrive pas à la simplifier !
- Fichiers joints
-
-
sos-math(20)
- Messages : 2461
- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: complexes et trigo
C'est bien cela.
Maintenant, à l'intérieur de la parenthèse, utilise une propriété de l'exponentielle : \(\frac{1}{e^{i \frac{\Theta }{2}}}=e^{...}\). Ensuite reviens à l'expression en fonction de sinus et cosinus et tu verras qu'il y a des simplifications.
Bon courage
SOSmath
Maintenant, à l'intérieur de la parenthèse, utilise une propriété de l'exponentielle : \(\frac{1}{e^{i \frac{\Theta }{2}}}=e^{...}\). Ensuite reviens à l'expression en fonction de sinus et cosinus et tu verras qu'il y a des simplifications.
Bon courage
SOSmath
-
Thibault
Re: complexes et trigo
Vous parlez bien de la formule 1/(e^x) = e^(-x) ?
Merci !
Merci !
-
Thibault
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: complexes et trigo
Bonjour Thibault,
C'est très bien.
Tu a presque la forme exponentielle ... il reste à vérifier que -2cos(\(\theta\)/2) est positif ...
Pour cela utilise les conditions sur \(\theta\) (A quel intervalle appartient-il ?).
SoSMath.
C'est très bien.
Tu a presque la forme exponentielle ... il reste à vérifier que -2cos(\(\theta\)/2) est positif ...
Pour cela utilise les conditions sur \(\theta\) (A quel intervalle appartient-il ?).
SoSMath.
-
Thibault
Re: complexes et trigo
Bonjour,
Thêta est compris dans l'intervalle ]0;2pi[
Merci !
Thêta est compris dans l'intervalle ]0;2pi[
Merci !
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: complexes et trigo
Thibault,
On a : 0 < θ < 2\(\pi\), donc 0 < θ/2 < \(\pi\).
Tu as alors 2 cas à étudier :
* 0 < θ/2 < \(\pi\)/2 : ici cos(θ/2) > 0, donc -2cos(θ/2) < 0 .... donc -2cos(θ/2) n'est pas le module de \(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}\) et donc θ/2 n'est pas un argument de \(1-e^{i\theta}\) ....
Pour résoudre le problème, utilise la relation : \(-1=e^{i\pi}\).
* \(\pi\)/2 =< θ/2 < \(\pi\) : ici cos(θ/2) < 0, donc -2cos(θ/2) > 0 .... donc -2cos(θ/2) est le module de \(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}\) et donc un argument de \(1-e^{i\theta}\) est ... je te laisse trouver !)
SoSMath.
On a : 0 < θ < 2\(\pi\), donc 0 < θ/2 < \(\pi\).
Tu as alors 2 cas à étudier :
* 0 < θ/2 < \(\pi\)/2 : ici cos(θ/2) > 0, donc -2cos(θ/2) < 0 .... donc -2cos(θ/2) n'est pas le module de \(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}\) et donc θ/2 n'est pas un argument de \(1-e^{i\theta}\) ....
Pour résoudre le problème, utilise la relation : \(-1=e^{i\pi}\).
* \(\pi\)/2 =< θ/2 < \(\pi\) : ici cos(θ/2) < 0, donc -2cos(θ/2) > 0 .... donc -2cos(θ/2) est le module de \(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}\) et donc un argument de \(1-e^{i\theta}\) est ... je te laisse trouver !)
SoSMath.
-
Thibault
Re: complexes et trigo
Re-Bonjour !
Pour le premier cas j'ai pas tellement compris !
Pour le 2e l'argument est théta/2 ?
Merci
Pour le premier cas j'ai pas tellement compris !
Pour le 2e l'argument est théta/2 ?
Merci
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: complexes et trigo
Thibault,
pour le 2ème cas c'est le bon argument.
Pour le 1er cas, la forme exponentielle est \(re^{i\theta}\) où \(r>0\).
\(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times (-1)e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times e^{i\pi}e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times e^{...}\)
je te laisse compléter et conclure pour l'argument de \(1-e^{i\theta}\).
SoSMath.
pour le 2ème cas c'est le bon argument.
Pour le 1er cas, la forme exponentielle est \(re^{i\theta}\) où \(r>0\).
\(1-e^{i\theta}=-2cos(θ/2)e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times (-1)e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times e^{i\pi}e^{i\frac{\theta}{2}}=2cos(θ/2)\times e^{...}\)
je te laisse compléter et conclure pour l'argument de \(1-e^{i\theta}\).
SoSMath.
-
Thibault
Re: complexes et trigo
Re-bonjour,
l'argument si theta/2 est dans ]0;pi/2[ c'est pi+theta/2 ? et le module est 2cos(theta/2)
Du coup ma première valeur du module peut être remplacée par celle ci ?
Merci !
l'argument si theta/2 est dans ]0;pi/2[ c'est pi+theta/2 ? et le module est 2cos(theta/2)
Du coup ma première valeur du module peut être remplacée par celle ci ?
Merci !
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: complexes et trigo
Thibault,
je viens de m'apercevoir que tu avais fait une erreur de calcul ... \(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\neq -2cos(\frac{\theta}{2})\)
mais \(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}= -2isin(\frac{\theta}{2})\).
Donc \(1-e^{i\theta}=-2isin(\frac{\theta}{2})e^{i\frac{\theta}{2}}\)
Maintenant, pour 0 < \(\theta\) < 2 \(\pi\), on a 0 < \(\theta\)/2 < \(\pi\), d'où sin(\(\theta\)/2) >= 0 (ce qui est très intéressant).
Il reste à transformer -i en forme exponentielle : -i = \(e^{...}\) (je te laisse faire).
SoSMath.
je viens de m'apercevoir que tu avais fait une erreur de calcul ... \(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\neq -2cos(\frac{\theta}{2})\)
mais \(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}= -2isin(\frac{\theta}{2})\).
Donc \(1-e^{i\theta}=-2isin(\frac{\theta}{2})e^{i\frac{\theta}{2}}\)
Maintenant, pour 0 < \(\theta\) < 2 \(\pi\), on a 0 < \(\theta\)/2 < \(\pi\), d'où sin(\(\theta\)/2) >= 0 (ce qui est très intéressant).
Il reste à transformer -i en forme exponentielle : -i = \(e^{...}\) (je te laisse faire).
SoSMath.