Bonsoir, j'ai un exercice noté à rendre mais je ne sais pas comment le commencer, pourriez-vous m'éclaircir? L'exercice est le suivant:
On considère la parabole P d'équation y = x² et le point A (1/2 ; 5/4)
On cherche à déterminer la position du point de la parabole le plus proche de A.
Merci de votre aide.
Louison
Position d'un point
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Louison
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SoS-Math(25)
- Messages : 1860
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Position d'un point
Bonjour Louison,
Il va te falloir deux notions :
La première : Connais-tu un moyen de calculer la distance entre deux points avec leurs coordonnées ?
La deuxième : Les points situés sur la parabole ont tous le même type de coordonnées : (x;x²).
A partir de à, tu vas pouvoir obtenir une inéquation.
Bon courage !
Il va te falloir deux notions :
La première : Connais-tu un moyen de calculer la distance entre deux points avec leurs coordonnées ?
La deuxième : Les points situés sur la parabole ont tous le même type de coordonnées : (x;x²).
A partir de à, tu vas pouvoir obtenir une inéquation.
Bon courage !
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Louison
Re: Position d'un point
Je ne comprends pas ces deux notions.
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SoS-Math(30)
- Messages : 585
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:32
Re: Position d'un point
Bonjour Louison,
Pour la première notion, tu as dû voir cette formule en seconde : \(AM^{2}=\left ( x_{M}-x_{A} \right )^{2}+\left ( y_{M}-y_{A} \right )^{2}\).
Si M est un point de la parabole alors \(y_{M}=x_{M}^{2}\). Si l'on appelle \(x\) l'abscisse de M, peux-tu exprimer AM² en fonction de \(x\) en remplaçant les coordonnées de A par leurs valeurs ?
SoSMath
Pour la première notion, tu as dû voir cette formule en seconde : \(AM^{2}=\left ( x_{M}-x_{A} \right )^{2}+\left ( y_{M}-y_{A} \right )^{2}\).
Si M est un point de la parabole alors \(y_{M}=x_{M}^{2}\). Si l'on appelle \(x\) l'abscisse de M, peux-tu exprimer AM² en fonction de \(x\) en remplaçant les coordonnées de A par leurs valeurs ?
SoSMath
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Louison
Re: Position d'un point
Bonsoir, alors si on a AM² = (xm -xa)² + (ym-ya)²
AM² = (xm - (1/2))² + (ym - (5/4))² et vu que ym = x²m alors AM² = (xm - (1/2))² + (x²m - (5/4))²
Est-ce juste ??
Merci.
AM² = (xm - (1/2))² + (ym - (5/4))² et vu que ym = x²m alors AM² = (xm - (1/2))² + (x²m - (5/4))²
Est-ce juste ??
Merci.
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SoS-Math(30)
- Messages : 585
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:32
Re: Position d'un point
Oui Louison et pour alléger les notations, tu peux poser \(x_{M}=x\).
SoSMath
SoSMath
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Louison
Re: Position d'un point
D'accord, alors à partir de ça comment pourrais-je déterminer la position ??
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sos-math(27)
- Messages : 1427
- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: Position d'un point
Bonjour Louison,
Commence par calculer et simplifie l'expression de cette distance entre les points de la parabole et le point A, quand tu auras une expression, il faudra expliquer quand est-ce que cette expression est minimale (la plus petite possible)...
à bientôt
Commence par calculer et simplifie l'expression de cette distance entre les points de la parabole et le point A, quand tu auras une expression, il faudra expliquer quand est-ce que cette expression est minimale (la plus petite possible)...
à bientôt
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Louison
Re: Position d'un point
Bonjour, désolé du retard de ma réponse, j'ai eu une semaine d'examen en science et en littérature.
Alors si je reprends, on arrive à :
AM² = (x - (1/2))² + (x² - (5/4))² --> AM² = x²-x+(1/4) + x^4-(5/2)x²+ 25/16 d'où AM² = x^4-(3/2)x²-x+29/16
Donc AM = racine de (x^4-(3/2)x²-x+(29/16)
Est-ce juste??
Alors si je reprends, on arrive à :
AM² = (x - (1/2))² + (x² - (5/4))² --> AM² = x²-x+(1/4) + x^4-(5/2)x²+ 25/16 d'où AM² = x^4-(3/2)x²-x+29/16
Donc AM = racine de (x^4-(3/2)x²-x+(29/16)
Est-ce juste??
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SoS-Math(31)
- Messages : 1360
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: Position d'un point
Bonjour Louison,
Oui, c'est juste. Maintenant tu peux étudier les variations de ton expression pour connaitre le minimum.
Oui, c'est juste. Maintenant tu peux étudier les variations de ton expression pour connaitre le minimum.
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Louison
Re: Position d'un point
Donc AM = racine de (x^4-(3/2)x²-x+(29/16) . Pour étudier le signe de AM on dérive : on fait AM' = racine de (4x^3-3x-1) je ne sais pas comment déterminer son signe car quand je calcule Delta les racines sont impossibles vu que ici a=0 . de l'aide svp.
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Louison
Re: Position d'un point
Je vous remercie de votre aide.
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Louison
Re: Position d'un point
Je n'ai toujours pas avancé de l'aide svp.
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Position d'un point
Bonjour,
\(f(x)=\sqrt{x^4-1,5x^2-x-\frac{29}{16}}\), c'est cela ?
Quand on dérive on a une dérivée de la forme \((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\) donc f'(x)=\(\frac{4x^3-3x-1}{2\sqrt{x^4-1,5x^2-x-\frac{29}{16}}}\)
Comme le dénominateur de \(f'(x)\) est positif, le signe de cette dérivée est donné par le signe de son numérateur.
On peut donc commencer par résoudre l'équation \(4x^3-3x-1=0\)
C'est une équation polynomiale de degré 3 donc tu ne peux pas utiliser le discriminant !
Je t'aide un peu en te demandant de prouver que \(4x^3-3x-1=(x-1)(4x^2+4x+1)\)
Une fois que tu auras prouvé cela (un simple développement suffira), tu pourras construire le tableau de signe de \((x-1)(4x^2+4x+1)\).
Bon courage
\(f(x)=\sqrt{x^4-1,5x^2-x-\frac{29}{16}}\), c'est cela ?
Quand on dérive on a une dérivée de la forme \((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\) donc f'(x)=\(\frac{4x^3-3x-1}{2\sqrt{x^4-1,5x^2-x-\frac{29}{16}}}\)
Comme le dénominateur de \(f'(x)\) est positif, le signe de cette dérivée est donné par le signe de son numérateur.
On peut donc commencer par résoudre l'équation \(4x^3-3x-1=0\)
C'est une équation polynomiale de degré 3 donc tu ne peux pas utiliser le discriminant !
Je t'aide un peu en te demandant de prouver que \(4x^3-3x-1=(x-1)(4x^2+4x+1)\)
Une fois que tu auras prouvé cela (un simple développement suffira), tu pourras construire le tableau de signe de \((x-1)(4x^2+4x+1)\).
Bon courage
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Louison
Re: Position d'un point
Bonjour, alors les deux solutions sont x=1 et x= -1/2
Alors en construisant mon tableau de signe je trouve que c'est de -infini à -1/2 puis négatif encore de -1/2 à 1 et positif de 1 à +infini. Donc f est décroissante de -infini à 1 puis croissante de 1 à +infini . 1 atteint un minimum en racine de 5/4. Alors la position du point de la parabole le plus proche de A est racine de 5/4.
Mais j'ai une question quels sont les étapes qui vous ont permis de factoriser 4x^3-3x-1 car je n'arrive pas à factoriser cette expression. J'ai essayé de faire la partie logiciel à l'aide de geogebra mais je ne comprends vraiment pas comment faire.
Merci d'avance.
Alors en construisant mon tableau de signe je trouve que c'est de -infini à -1/2 puis négatif encore de -1/2 à 1 et positif de 1 à +infini. Donc f est décroissante de -infini à 1 puis croissante de 1 à +infini . 1 atteint un minimum en racine de 5/4. Alors la position du point de la parabole le plus proche de A est racine de 5/4.
Mais j'ai une question quels sont les étapes qui vous ont permis de factoriser 4x^3-3x-1 car je n'arrive pas à factoriser cette expression. J'ai essayé de faire la partie logiciel à l'aide de geogebra mais je ne comprends vraiment pas comment faire.
Merci d'avance.