Exponentielle

[Clara]

Bonjour,
J'ai vu dans la correction d'un exercice que la dérivée de f(x)=1/(1+e^x) était f'(x)=(-e^-x)/(1+e^-x)², c'est-à-dire f'(x)=e-x/(1+e-x)² mais je ne comprends pas comment on trouve cette dérivée.

Pouvez-vous m'expliquer ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
la fonction \(f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^x}\) est de la forme \(\frac{1}{u}\) avec \(u(x)=1+\mathrm{e}^x\)
La dérivée de \(\frac{1}{u}\) est \(\left(\frac{1}{u}\right)'=\frac{-u'}{u^2}\), sachant que u'(x)=\mathrm{e}^x
on a donc \(\left(\frac{1}{1+\mathrm{e}^x}\right)'=\frac{-\mathrm{e}^x}{(1+\mathrm{e}^x)^2}\)
Si par contre, ta fonction est \(g(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}\), alors \(u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}\) et \(u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}\)
et \(g'(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^2}\)
Est-ce plus clair ?

[Clara]

Oui merci beaucoup.
Il y a autre chose que je ne comprends pas dans cet exercice.
La question est : "démontrer que pour tout entier naturel n, les courbes Cn ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées".
Sachant que fn(x)=e^-nx/(1+e^-x).
J'ai vu qu'il fallait calculer fn(0) pour trouver l'ordonnée de A mais je ne comprends pas pourquoi. Est-ce que c'est parce que sur le graphique les courbes se croisent à l'abscisse 0 ?

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[sos-math(27)]

Exactement, si le point A est commun aux courbes, elles se croisent en ce point.
à bientôt

[Clara]

D'accord mais on calcule fn(0) (et pas d'une autre abscisse) pour trouver l'ordonnée de A parce que les courbes se croisent en un point d'abscisse 0 sur le graphique ? Ou parce que pour calculer les coordonnées d'un point commun à plusieurs courbes d'une fonction fn(x) il faut forcément faire fn(0) quelque soit l'endroit où les courbes se croisent sur le graphique ?

[SoS-Math(31)]

Bonjour,
Soit n et m deux entiers distincts, résous fn(x) = fm(x).
Tu verras alors pourquoi x doit impérativement valoir 0.

[Clara]

fn(x)=fm(x)
e^-nx/(1+e^-x)=e-mx/(1+e^-x)
e^-nx=e^-mx
-nx=-mx
x=mx/n

Donc x doit valoir 0 car sinon l'équation donne x n'est pas égal à x ?

[sos-math(27)]

Pour la fin de la résolution, préfère :
-nx=-mx donc mx-nx=0 donc x * (m-n)=0 et comme m et n sont distincts, alors x vaut 0.

à bientôt Clara