résolution d'équation

[margot]

Bonjour, j'ai un exercice où on me donne l'équation suivante (E) : racine carrée de (x²+1) = (7x)/3
1 Démontrer que l'équation (E) équivaut au système : x²+1 = (49x²)/9
x ≥ 0
2 En déduire l'ensemble des solutions de (E).

Pour la question 1 j'ai fait : racine carrée de (x²+1) X racine carrée de (x²+1) = (7x)/3 X (7x)/3 ce qui m'a donné x²+1 = (49x²)/9
Mais après je ne sais pas comment démontrer avec x ≥ 0 , et la question 2 je ne sais non plus pas comment la faire.

Merci d'avance
Margot

[SoS-Math(31)]

Bonjour Margot,
a=b implique a² = b² mais la réciproque est fausse car a = - b donne aussi a² = b²
Maintenant a=b équivaut à a² = b² avec a et b de même signe.
Ici positif car la racine est positive.
De plus pour que la racine soit égale à une expression A , cette expression doit être positive donc 7x/3 doit être positif donc x > 0

[margot]

Bonjour, je ne comprends pas.
Merci

[sos-math(27)]

Bonjour Margot,
C'est une question de logique : en élevant au carré, on enlève la racine carré, ce qui nous arrange pour pouvoir résoudre, mais en contre partie, on fait apparaître des solutions qui ne marcheraient pas pour la première équation :

\(\sqrt{x^2+1}=\frac{7x}{3}\) est possible seulement quand x est positif, car la racine carré est positive.
Donc quand on résous, \(x^2+1=\frac{49x^2}{9}\) ont garde en mémoire le fait que x doit être positif !!
Il faudra enlever des solutions trouvées celle qui sont négatives.

J'espère que tu comprends mieux. à bientôt

[margot]

Bonjour, alors si je comprends bien on fait:
racine carrée de (x²+1) = 7x/3
x²+1 = 49x²/9
x²-49x²/9 = -1
40x²/9 = 1
2(racine carrée de 10x)/3 = 1
x = 3(racine carrée de 10x)/20 ????

Merci d'avance

[sos-math(27)]

racine carrée de (x²+1) = 7x/3
x²+1 = 49x²/9
x²-49x²/9 = -1
40x²/9 = 1

c'est bon jusque là, mais ensuite, essaie d'isoler \(x^2\), ce sera plus clair.
Tu dois pouvoir arrier à écrire :\(x^2=...\)

Ensuite, tu sais que si \(x^2=a\) (avec \(a\) positif) alors on aura : \(x=\sqrt a\) ou \(x=-\sqrt a\)
à bientôt

[margot]

Bonsoir, donc si c'est bon jusque 40x²/9 = 1 on obtient:
x² = 1/(40/9) = 9/40
Alors, x = 3(racine de 10)/20 ou x = -3(racine de 10)/20

Merci

[sos-math(27)]

De rien !

[margot]

Pour cet exercice c'est tout ce que j'ai à faire, parce que j'ai fait la première démonstration et j'ai déduis l'ensemble des solutions, mais je n'ai pas réussi à démontrer que x ≥ 0 .

Margot

[sos-math(27)]

\([TeX]\)\sqrt{x^2+1}[=\frac{7x}{3}/TeX] est possible seulement quand x est positif, car la racine carré est positive.
Cet argument est suffisant me semble-t-il...

[margot]

Bonsoir, oui il me semble aussi.
Merci